Question

Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto
no vértice A. A medida do ângulo ACB é 30°.
Considere D um ponto sobre a hipotenusa BC, tal
que AD = DC. Sabe-se que a hipotenusa BC
mede 4√5 cm. A medida do segmento AD vale:

Answer 1

Se o ângulo ACB é igual a 30º, o ângulo ACD também é igual a 30º, pois são ângulos formados pelos mesmos lados e mesmo vértice.
Se AD = DC, então o triângulo ADC é isósceles e o ângulo CAD mede 30º, pois é ângulo da base do triângulo isósceles ADC, no qual o outro ângulo da base (ACD) também mede 30º.
Então, no triângulo ADC o ângulo ADC mede:
ADC = 180º - 30º - 30º
ADC = 120º

No triângulo ADB, o ângulo ADB é suplementar ao ângulo ADC e, assim, mede:
ADB = 180º - 120º
ADB = 60º
Como, neste mesmo triângulo, o ângulo BAD é igual a:
BAD = BAC - CAD
BAD = 90º - 30º
BAD = 60º
Então, o ângulo ABD mede:
ABD = 180º - ADB - BAD
ABD = 180º - 60º - 60º
ABD = 60º
Assim, o triângulo ADB é equilátero, pois cada um de seus três ângulos medem 60º. 
Conclusão: se AD = DC, de acordo com o enunciado do problema, e AD = BD, BD é igual a DC e o ponto D é ponto médio da hipotenusa BC.
Então:
BD = DC = AD = hipotenusa ÷ 2
Como a hipotenusa mede 4√5 cm,
AD = 4√5 ÷ 2
AD = 2√5 cm
ou, então
AD = 4,472 cm