O termo independente de x do desenvolvimento de (x-1/x)^8 É:
A)o primeiro termo
B)O segundo termo
C)o terceiro termo
D)o quinto termo
E)Nao existe
Respostas
Resposta:
Olá!
Podemos obter o termo independente levando em conta o seguinte: a definição de Binômio de Newton, e, o fato de o termo independente ser um termo que não possui variável (x), ou seja, \mathsf{x^0}x
0
. Portanto, devemos encontrar um expoente para o primeiro termo do binômio que seja igual ao expoente do segundo termo do binômio e cuja soma seja oito. Enfim, seja \mathsf{\lambda}λ esse expoente, então:
\begin{lgathered}\\ \mathsf{\lambda + \lambda = 8} \\ \mathsf{2 \lambda = 8} \\ \mathsf{\lambda = 4}\end{lgathered}
λ+λ=8
2λ=8
λ=4
Com efeito, temos:
\begin{lgathered}\\ \mathsf{Termo \ independente = \binom{8}{4} \cdot (x)^4 \cdot \left ( - \frac{1}{x} \right )^4} \\\\\\ \mathsf{Termo \ independente = \frac{8!}{(8 - 4)!4!} \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^4}} \\\\\\ \mathsf{Termo \ independente = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1} \\\\\\ \boxed{\mathsf{Termo \ independente = 70}}\end{lgathered}
Termo independente=(
4
8
)⋅(x)
4
⋅(−
x
1
)
4
Termo independente=
(8−4)!4!
8!
⋅x
4
⋅
x
4
1
Termo independente=
4! 4⋅3⋅2⋅1
8⋅7⋅6⋅5⋅4!
⋅1
Termo independente=70
Vale lembrar que:
\mathsf{(a + b)^n = \binom{n}{0} \cdot (a)^{n - 0} \cdot (b)^0 + \binom{n}{1} \cdot (a)^{n - 1} \cdot (b)^1 + ... + \binom{n}{n - 1} \cdot (a)^{n - (n - 1)} \cdot (b)^{n - 1} + \binom{n}{n} \cdot (a)^{n - n} \cdot (b)^n}(a+b)
n
=(
0
n
)⋅(a)
n−0
⋅(b)
0
+(
1
n
)⋅(a)
n−1