Question

Com relação a contingência, contradição e tautologia, analise as afirmativas seguintes.


I. (p ^ q) v (p ^ r) ↔ p ^ (q ^ r) é uma contingência.

II. (p ^ q) ↔ (p v q ↔ (p → ¬ q)) é uma contingência.

III. (p → q v r) ^ q → (p → r) é uma contradição.

IV. p → (¬p → q v ¬q) é uma tautologia.


É correto o que se afirma em:

Alternativas

Alternativa 1:


I e II, apenas.

Alternativa 2:


II e III, apenas.

Alternativa 3:


I, II e IV, apenas.

Alternativa 4:


I, III e IV, apenas.

Alternativa 5:


I, II, III e IV.

Answer 1

Uma tautologia é aquela proposição composta cujo valor lógico é somente o Verdadeiro (V). Já uma contradição é a proposição composta cujo valor lógico é somente o Falso (F). No caso de uma contingência, a proposição composta não pode ser nem uma contradição, nem uma tautologia, isto é, não poderá haver somente V ou somente F.

Assim, vamos analisar os itens pela dedução lógica:

I. (p ^ q) v (p ^ r) ↔ p ^ (q ^ r) é uma contingência.

Como só existe um caso que p^(q^r) é verdadeiro (p = V, q = V e r = V), as outras linhas são falsas, então:

V ^ (V v V) ↔ V

V ↔ V <=> V (uma linha da tabela lógica é V), mas

V ^ (F v V) ↔ V ^ (F ^ V)

V ↔ F <=> F (uma linha da tabela lógica é F)

Logo, a proposição composta I é uma contingência, pois possui tanto V como F na proposição resultante.

II. (p ^ q) ↔ (p v q ↔ (p → ¬ q)) é uma contingência.

Para o caso que p e q são F, temos:

F ↔ (F ↔ V)

F ↔ F <=> V (uma linha da tabela é V)

Para o caso que p e q são V, temos:

(V ^ V) ↔ (V v V ↔ (V -> F))

V ↔ (V ↔ F)

V ↔ F <=> F (uma linha da tabela é F)

Já encontramos dois valores distintos, então a proposição composta II é uma contingência.

III. (p → q v r) ^ q → (p → r) é uma contradição.

Como ^ possui maior precedência, então resolveremos primeiro ((p → q v r) ^ q).

(¬p v (q v r)) -> (q -> (p->r))

¬(¬p v (q v r)) v (q -> (p -> r))

(p ^ ¬ q ^ ¬ r) v (¬q v (¬p v r))

(p ^ ¬q ^ ¬r) v (¬q v ¬p v r)      [Ficamos com essa reescrita]

Como temos um "v", se uma das proposições for V, a proposição total (resultante) será V. Para verificar se é uma contingência, devemos observar se há a possibilidade do resultado ser F v F. Isso ocorre quando: p = V, q = V, r = F.

(V ^ F ^ V) v (F v F v F)

F v F <=> F

Logo, a proposição III é uma contingência.

IV. p → (¬p → q v ¬q) é uma tautologia.

Sabemos que: q  v ¬q <=> V. Logo, ¬p -> V <=> V

Assim,

p -> V <=> V

A proposição composta IV é uma tautologia.

Resposta: Alternativa 5