Question

Na figura abaixo, os dois ângulos assinalados tem a mesma medida. Calcule o perímetro do quadrilátero BCDE sabendo que EB = 4, AE = 10 , AD = 8 e ED = 7 .

Answer 1

Vamos considerar os triângulos ABC e ADE. Estes dois triângulos são semelhantes, pois o ângulo A é comum aos dois triângulos e os ângulos assinalados também são iguais. Como consequência, o terceiro ângulo destes dois triângulos são também iguais (AED = ACB).
Para visualizar melhor a semelhança, vamos usar de um artifício: vamos girar o triângulo ADE, de tal modo que o ponto D fique sobre o lado AB e o ponto E sobre o lado AC; assim, os lados DE e BC serão paralelos e a relação de proporcionalidade fica evidente.
Como os dois triângulos são semelhantes, seus lados correspondentes são proporcionais.
Para obtermos o perímetro do quadrilátero BCDE, precisamos conhecer o valor de seus lados: BC, CD, ED e EB
As medidas que conhecemos são as seguintes:
AE = 10
EB = 4
AB = AE + EB:
AB = 10 + 4
AB = 14
AD = 8
DB = AB - AD
DB = 14 - 8
DB = 6
AE = 10
ED = 7

As proporções que existem entre os lados proporcionais, são:
AD/DB = AE/EC
8/6 = 10/EC
EC = 60/8
EC = 7,5

AD/AB = ED/BC
8/14 = 7/BC
BC = 14 × 7 ÷ 8
BC = 12,25

AB/AD = AC/AE
14/8 = AC/10
AC = 140/8
AC = 17,5

CD = AC - AD
CD = 17,5 - 8
CD = 9,5

Como o perímetro (p) do quadrilátero BCDE é igual à soma de seus lados, temos:
p = BC + CD + ED + EB
p = 12,25 + 9,5 + 7 + 4

p = 32,75, perímetro do quadrilátero BCDE