Question

Dentro da Análise Matemática, muitos conceitos estão fortemente ligados. Porém, devemos ficar atentos se as relações são de inferência, se a recíproca é verdadeira ou devemos considerar as relações contrapositivas. Assim, considere a seguinte propriedade: Se f é uma função diferenciável em a, então f é continua em a.
Analise as afirmativas a seguir quanto a sua diferenciabilidade e continuidade:

I) f(x) = $\left \{ {{ln(x), se, x \neq 0} \atop {0 , se , x=0}} \right.$

II) g(x)=$\left \{ {{x^2 se, x\neq 0} \atop 0, se, {x=0}} \right.$
III) h(x)=$\left \{ {{sen(x), x\neq 0} \atop0 , se {x=0}} \right.$

Assinale alternativa que indica qual destas funções é diferenciável na origem:
I, apenas.
II, apanas.
apenas I e II
II e III, apenas.
I,II e III.

Answer 1

As funções que são diferenciáveis na origem são II e III.

Para que uma função seja diferenciável, seus limites laterais devem existir e serem iguais. Calculando os limites laterais de cada função, temos:

f'(x) = 1/x

lim f'(x) = -∞

x → 0⁻

lim f'(x) = +∞

x → 0⁺

Como os limites são diferentes (e não existem), esta função não é diferenciável na origem. Para as demais, temos:

g'(x) = 2x

lim g'(x) = 0

x → 0⁻

lim g'(x) = 0

x → 0⁺

h'(x) = cos(x)

lim h'(x) = 1

x → 0⁻

lim h'(x) = 1

x → 0⁺

Resposta: D