Question

As retas-suportes dos lados de um triângulo têm equações x+2y-1=0, y-5=0 e x-2y-7=0. Calcule a área da região triangular.

Answer 1

As retas-suportes dos lados de um triângulo têm equações x+2y-1=0, y-5=0 e x-2y-7=0. Calcule a área da região triangular.

Primeiramente, vamos nomear as retas:
r: x + 2.y - 1 = 0
s:  y - 5 = 0
t: x - 2.y - 7=0

Em seguida, vamos calcular os pontos de intersecção entre as retas, pontos estes que forma os vértices do triângulo.

Intersecção entre as retas r e s:
y - 5 = 0 => y = 5 =>  x + 2.y = 1 => x + 2.5 = 1 => x = 1 - 10 => x = -9
Portanto, o ponto de intersecção entre r e s é o ponto de coordenadas (-9, 5).

Intersecção entre as retas s e t:
y - 5 = 0 => y = 5 => x - 2.y = 7 => x - 2.5 = 7 => x = 7 - 10 => x = -3
Portanto, o ponto de intersecção entre s e t é o ponto de coordenadas (-3, 5).

Intersecção entre as retas r e t:
x + 2.y = 1
x - 2.y = 7 
--------------
2.x = 8 => x = 4 => x + 2.y = 1 => 4 + 2.y = 1 => 2.y = 1 - 4 => y = -3/2
Portanto, o ponto de intersecção entre r e t é o ponto de coordenadas (4, -3/2).

Portanto:
A: y - 5 = 0 e x - 2y - 7 =0 ===> (17 , 5) 
B: y - 5 = 0 e x + 2y - 1 = 0 ===> (-9 , 5) 
C: x - 2y - 7 = 0 e x + 2y - 1 = 0 ===> (4 , -3/2) 
Note agora que a abscissa do vértice C é o ponto médio do segmento AB (esboce o gráfico para facilitar a visualização). Isso significa que o triângulo ABC é isósceles e, portanto, sua altura é (5 + 3/2) = 6,5. Logo: 
Sabc = (9 + 17) . 6,5/2 = 84,5
Obs.: Poderíamos também inserir os vértices no delta e calcularmos a área como |Δ|/2. 
Espero ter ajudado! 

Answer 2

A área de um triangulo é dado por A= (b . h)/2

chamamos de b a distancia do ponto (P) de encontro das retas (x + 2y -1 =0) com 

(y - 5 =0)  e o ponto Q ( interseção das retas (y- 5 =0) com ( x -2y -7 = 0)) , vamos achar esses pontos e a distancia (b).

y-5=0 ⇒ y =5 ⇒ x + 2.5 -1 =0 ⇒ x + 10 - 1=0 ⇒ x = -9 ⇒ P( -9 , 5)

e ⇒ x - 2.5 - 7 =0 ⇒ x -10 -7 = 0 ⇒ x = +17  ⇒ Q(17, 5)

então  ⇒ b = √ { [17 - (-9)]² + [ 5 - 5]² = √ (26)² ⇒ b = 26

- achando  a interseção das retas (x + 2y -1 =0) e ( x -2y -7 =0)

fica 2x - 8=0 ⇒ x =4 ⇒ 4 + 2y -1 =0 ⇒ y = - 3/2

então h = 5 + 3/2 = 13/2.

- achando a A = [ 26 .(13/2)]/2 = 13.13 / 2 ⇒ A= 169/2 ⇒ A= 84,5