Question

Para qual valor de k a equação diferencial é exata?

abre parênteses y ao cubo mais k x y à potência de 4 menos 2 x fecha parênteses d x mais abre parênteses 3 x y ao quadrado mais 20 x ao quadrado y ao cubo fecha parênteses d y igual a 0

x
40
1
10

Answer 1

Utilizando definição de equação diferencial exata, temos que k vale 10.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte equação:

$(y^3+kxy^4-2x)dx+(3xy^2+20x^2y^3)dy=0$

E queremos sabe se esta equação diferencial é exata. Sabemos que toda equação exata da forma:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

Só é exata se obedecer a condição:

$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$

Assim vamos aplicar esta regra para a nossa equação, onde:

$M(x,y)=(y^3+kxy^4-2x)$

$N(x,y)=(3xy^2+20x^2y^3)$

Assim temos que:

$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=3y^2+4kxy^3$

$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=3y^2+40xy^3$

Assim note que para estas duas equações serem iguais, precisamos que:

$4k=40$

$k=10$

Ou seja, temos que k vale 10.