Question

me ajudem nessa questão. A resposta é a A.

Answer 1

Resposta: O ponto $M=(m_{1},m_{2})$ pode ser o ponto $P=(3,7)$. Portanto, a alternativa (A) está correta.

Explicação passo-a-passo:

Perceba que o exercício fornece dois pontos distintos, dados por $A=(2,5)$ e $B=(5,11)$. Também é mencionado um terceiro ponto $M$, que representaremos por $M=(m_{1},m_{2})$. Sabe-se que o percurso $AMB$ é em linha reta, com isso o ponto $M=(m_{1},m_{2})$ deve pertencer à mesma reta $r$ que passa por $A=(2,5)$ e $B=(5,11)$. Ou seja: os pontos $A=(2,5)$, $B=(5,11)$ e $M=(m_{1},m_{2})$ devem ser colineares. Posto isto, para que seja possível descobrir as possíveis coordenadas do ponto $M=(m_{1},m_{2})$, apenas deve-se encontrar a equação cartesiana da reta que passa pelos pontos $A=(2,5)$ e $B=(5,11)$, e depois descobrir qual é o ponto, dentre os fornecidos pelas alternativas (A), (B), (C), (D) e (E), que satisfaz a equação dela. Lembre-se que a equação cartesiana de uma reta $t$ qualquer do plano cartesiano, que passa passa por dois pontos distintos e arbitrários $A=(x_{a},y_{a})$ e $B=(x_{b},y_{b})$, também pode ser determinada da seguinte forma: $t:\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\x_{a}&y_{a}&1\\x_{b}&y_{b}&1\end{array}\right|=0$. Sendo assim, vamos determinar a equação geral da reta $r$ que passa pelos pontos $A=(2,5)$ e $B=(5,11)$. Logo, a equação é dada por:

$\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\2&5&1\\5&11&1\end{array}\right| =0$  ⇒

$(5x+5y+22)-(11x+2y+25)=0$  ⇒

$5x-11x+5y-2y+22-25=0$  ⇒

$-6x+3y-3=0$  ⇒

$6x-3y+3=0$  ⇒

$3\cdot(2x-y+1)=0$  ⇒

$2x-y+1=0$

Percebe-se que a equação da reta $r$ é $2x-y+1=0$, o que também costuma ser escrito assim: $r:\ 2x-y+1=0$. Analisando as alternativas, conclui-se facilmente que o ponto $M=(m_{1},m_{2})$ pedido pode ser o ponto $P=(3,7)$, pois ao substituir na equação $2x-y+1=0$ o $x$ por $m_{1}=3$ e $y$ por $m_{2}=7$, temos que o resultado obtido será $0$. Ou seja: $2\cdot 3 - 7+1=6-7+1=6-6=0$. E isso prova que o único ponto, dentre os fornecidos pelas alternativas, que satisfaz a equação da reta $r:\ 2x-y+1=0$ é $P=(3,7)$.

* A expressão $\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\2&5&1\\5&11&1\end{array}\right|$ é um determinante de ordem três.

Abraços!