Question

O cálculo de derivadas frequentemente utiliza fórmulas tabeladas. Isto evita que façamos as derivadas utilizando limites e demandando um longo processo algébrico. Sendo assim, usando as fórmulas tabeladas, qual é a derivada da função f(×)=cotg²(3×)?

Answer 1

A derivada da função f(x) = cotg²(3x) é f'(x) = -6csc²(3x).cotg(3x).

Primeiramente, observe que a função f(x) = cotg²(3x) é a mesma que f(x) = cotg(3x).cotg(3x).

Sendo assim, temos um produto de duas funções. Então, para derivar a função f, utilizaremos a regra do produto:

(u.v)' = u'.v + u.v'.

Dito isso, temos que:

f'(x) = (cotg(3x))'.cotg(3x) + cotg(3x).(cotg(3x))'

Precisamos relembrar qual é a derivada da função cotangente.

A derivada da função cotangente é definida por:

(cotg(x))' = -csc²(x).

Como temos cotg(3x), então precisamos, também, derivar o arco 3x.

Portanto, a derivada é igual a:

f'(x) = -3csc²(3x).cotg(3x) + cotg(3x).(-3csc²(3x))

f'(x) = -6csc²(3x).cotg(3x).