Question

A reta que passa por A e B na figura é tangente a circunferência de centro em O, origem do plano cartesiano ortogonal, e raio igual a 1 cm.

A) encontre a medida dos ângulos internos do triângulo OAB.

B) Calcule a medida dos segmentos OA e AB.​

Answer 1

As medidas dos ângulos internos do triângulo OAB são 30º e 90º; As medidas dos segmentos OA e AB são, respectivamente, 2 e √3.

a) De acordo com o enunciado, a reta que passa pelos pontos A e B é tangente à circunferência.

Isso quer dizer que o ângulo entre os segmentos OB e BA mede 90º.

Assim, OBA = 90º.

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é definida por S = 180(n - 2).

Então, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a:

S = 180(3 - 2)

S = 180º.

Portanto, a medida do ângulo OAB é igual a:

60 + 90 + OAB = 180

150 + OAB = 180

OAB = 30º.

b) O triângulo OAB é retângulo. Além disso, temos que o cateto OB = 1 e o cateto AB é oposto ao ângulo de 60º.

Utilizando a razão trigonométrica tangente, obtemos:

tg(60) = AB/1

AB = √3 cm.

Para calcularmos a medida da hipotenusa OA, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras:

OA² = 1² + (√3)²

OA² = 1 + 3

OA² = 4

OA = 2 cm.