Question

o gráfico representa a função (fórmula) .Determine as constantes reais a,b e c
$f(x) = {ax}^{2} + bx + c$
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Answer 1

Se você observar, o gráfico nos dá algumas informações importantes:

Quando x vale 0, y vale - 8. Ou seja, se você substituir x por 0 na função, você obtém:

$f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0 + 0 + c = c$

Então:

$c = -8$

A outra informação importante é que o gráfico corta o eixo x nos pontos x = -2 e x = 4. Isto é, as raízes da função são -2 e 4.

Sabendo as raízes, pode-se escrever a função da seguinte forma:

$f(x) = K \cdot (x - r_1) \cdot (x - r_2)$

Onde $r_1$ e $r_2$ são as respectivas raízes e K é apenas uma constante de proporcionalidade. Substituindo as duas raízes:

$f(x) = K \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 4)$

$f(x) = K \cdot (x + 2) \cdot (x - 4)$

$f(x) = K \cdot (x^2 + 2 \cdot x - 4 \cdot x - 8)$

$f(x) = K \cdot (x^2 - 2 \cdot x - 8)$

Para descobrir K, basta fazer:

$K = \dfrac{r_1 \cdot r_2}{c}$

$K = \dfrac{-2 \cdot 4}{-8} = \dfrac{-8}{-8} = 1$

Ou seja, a função é:

$f(x) = x^2 - 2 \cdot x - 8$

E as constantes reais:

$\boxed{a = 1\text{, }b = -2\text{ e }c = -8}$

Answer 2

As constantes reais são: a = 1, b = -2 e c = -8.

Informação Útil:

Funções do segundo grau fatoradas são da forma:

$f(x)=(x-x_{1})*(x-x_{2})$

Onde $x_{1}$ e $x_{2}$ são as raízes da função.

Explicação passo a passo:

As raízes de uma função são os valores de x que fazem f(x) = 0. No gráfico de uma função do segundo grau, as raízes da função são os pontos ondem a parábola corta o eixo x.

No gráfico em questão, a parábola corta o eixo em x = -2 e x = 4, sendo essas as duas raízes da função. Substituindo esses valores na forma fatorada, temos:

$f(x)= (x-(-2))*(x-4) = (x+2)*(x-4) = x^2 + 2x - 4x - 2*4 = x^2 - 2x - 8$

Logo, os coeficientes de $f(x) = x^2 - 2x - 8$ são:

a = 1, b = -2 e c = -8.

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