Question

Uma caixa contém 5 lâmpadas de 40W, 3 lâmpadas de 60W e 2 lâmpadas de 100W. Retiram-se 5 lâmpadas com reposição. Qual a probabilidade de que:
a) Saiam 2 de 40W, 2 de 60W e 1 de 100W? (0,135)
b) Saiam 4 de 40W e 1 de 100W? (0,0625)
c) Não saia nenhuma de 40W?

Answer 1

Questão de probabilidade

Antes de tudo, devemos analisar bem o problema. A questão diz que uma caixa possui:

⇒ 5 lâmpadas de 40W

⇒ 3 lâmpadas de 60W

⇒ 2 lâmpadas de 100W

Se são retiradas 5 lâmpadas COM REPOSIÇÃO de uma caixa com 10 lâmpadas ao total (5+3+2), diversos casos podem ocorrer.

a) Para que saiam 2 lâmpadas de 40W, 2 de 60W e 1 de 100W, devemos multiplicar as probabilidades, lembre-se de que as lâmpadas retiradas são repostas.

5/10 . 5/10 . 3/10 . 3/10 . 2/10 = 450/100000 = 45/10000

No entanto, a probabilidade dessa ocorrência não é 45/10000, pois estabelecemos, sem querer, uma ordem de retirada. Nesse sentido, devemos descontá-la, multiplicando pela quantidade de casos possíveis de se obter nessa retirada, observe:

40 - 40 - 60 - 60 - 100

40 - 60 - 40 - 60 - 100

40 - 40 - 100 - 60 - 60 ... (são várias)

Queremos permutar 5 itens, sendo que existem dois elementos com duas repetições:

$P_5^{2,2} = \frac{5!}{2!2!} = 30$

Assim, temos: 45/1000 x 30 = 1350/10000 = 135/1000 = 0,135

b) Analogamente ao item anterior, faremos:

5/10 . 5/10 . 5/10 . 5/10 . 2/10 = 1250/100000 = 125/10000

Casos possíveis:

40 - 40 - 40 - 40 - 100

100 - 40 - 40 - 40 - 40

40 - 100 - 40 - 40 - 40 ...

Facilmente observamos que só existem 5 possíveis casos, dessa forma, vamos multiplicar por 5 a probabilidade acima.

125/10000 x 5 = 625/10000 = 0,0625

c) Para que não saia nenhuma de 40W, temos alguns casos:

- Retirar 5 de 60W, P = (3/10)⁵

- Retirar 5 de 100W, P = (2/10)⁵

- Retirar 4 de 60W e 1 de 100W, P = (3/10)⁴.(2/10).5

- Retirar 4 de 100W e 1 de 60W, P = (2/10)⁴.(3/10).5

- Retirar 3 de 60W e 2 de 100W, P = (3/10)³.(2/10)².10

- Retirar 3 de 100W e 2 de 60 W, P = (2/10)³.(3/10)².10

SOMANDO TODOS ESSES CASOS: P = 0,03125 = 1/32

As que contém um fator "5" ou "10" multiplicando, é porque provém da conta abaixo: (exemplo para 3 de 60W e 2 de 100W)

Casos:

60 - 60 - 60 - 100 - 100

100 - 60 - 100 - 60 - 60

100 - 100 - 60 - 60 - 60 ...

Utilizando novamente a permutação com elementos repetidos:

$P_5^{2,3} = \frac{5!}{2!.3!} = 10$

Desse jeito, a probabilidade será: 108/100000 x 10 = 108/10000 = 0,0108