Question

Alguém me ajuda com isso é urgente
$\lim_{x \to \ 4} \sqrt{x+\sqrt{x} } -\sqrt{x-1}$

$\lim_{x \to \ \pi } \frac{x- \pi}{\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{\pi} }$

Answer 1

Resposta:

$\lim_{x \to 4} \sqrt{x+\sqrt{x}} -\sqrt{x-1}=\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)$

$\lim_{x \to \pi} {x-\pi\over\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{\pi}}=2\sqrt[3]{\pi}$

Explicação passo-a-passo:

I. $\lim_{x \to 4} \sqrt{x+\sqrt{x}} -\sqrt{x-1}$

Substituindo os termos:

$\sqrt{4+\sqrt{4}} -\sqrt{4-1}$

$\sqrt{4+2} -\sqrt{3}$

$\sqrt{6} -\sqrt{3}$

Fatorando o 6 da primeira raiz:

$\sqrt{2\times3} -\sqrt{3}$

Separando os termos em raízes:

$\sqrt{2}\times\sqrt{3} -\sqrt{3}$

Colocando a raiz de 3 em evidência:

$\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)$

II.$\lim_{x \to \pi} {x-\pi\over\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{\pi}}=2\sqrt[3]{\pi}$

Substituindo os termos por pí, observamos que existe uma indeterminação no limite (0/0). Podemos Simplificar usando a radicalização:

Multiplicando os dois membros da fração pelo conjugado do denominador( $\sqrt[3]{x^2} +\sqrt[3]{\pi^2}$):

$\lim_{x \to \pi} {(x-\pi)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{\pi^2}) \over(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{\pi})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{\pi^2})}$

Desenvolvendo a multiplicação do denominador:

$\lim_{x \to \pi} {(x-\pi)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{\pi^2}) \over\sqrt[3]{x^3}-\sqrt[3]{\pi^3}}$

Simplificando as raízes:

$\lim_{x \to \pi} {(x-\pi)(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{\pi^2}) \over x-\pi}$

Simplificando (x-π):

$\lim_{x \to \pi} (\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{\pi^2})$

Agora podemos substituir diretamente o valor de x por pi:

$(\sqrt[3]{\pi^2}+\sqrt[3]{\pi^2})$

Somando os termos semelhantes:

$2\sqrt[3]{\pi^2}$