• Matéria: Matemática
  • Autor: dayarthur16
  • Perguntado 7 anos atrás

Me ajudem por favor nessa questão????

Anexos:

Respostas

respondido por: Vulpliks
0

Primeiramente encontramos os pontos de intersecção entre a reta e a circunferência. Para isso, precisamos expandir a equação da circunferência:

\lambda: (x-3)^2 + (y+3)^2 = 18

\lambda: x^2 - 6 \cdot x + 9 + y^2 + 6 \cdot y + 9 = 18

\lambda: x^2 - 6 \cdot x + y^2 + 6 \cdot y  = 18-18

\lambda: x^2 - 6 \cdot x + y^2 + 6 \cdot y  = 0

Agora, podemos isolar x na equação da reta r:

r: 2 \cdot x + 4 \cdot y = 12

2 \cdot x = 12 - 4 \cdot y

x = \dfrac{12 - 4 \cdot y}{2}

x = 6 - 2 \cdot y

Agora nós vamos substituir x na equação da circunferência por 6 - 2y:

x^2 - 6 \cdot x + y^2 + 6 \cdot y = 0

(6 - 2 \cdot y)^2 - 6 \cdot ( 6 - 2 \cdot y) + y^2 + 6 \cdot y = 0

Expandindo:

4 \cdot y^2 - 24 \cdot y + 36 - 36 + 12 \cdot y+ y^2 + 6 \cdot y = 0

Agrupando os termos semelhantes:

5 \cdot y^2 - 6 \cdot y = 0

Como não temos termos independentes, isso significa que uma das raízes só pode ser 0, para achar a outra, podemos tirar um y em evidência:

y \cdot (5 \cdot y - 6) = 0

Passamos esse y dividindo para o outro lado:

5 \cdot y - 6 = \dfrac{0}{y}

5 \cdot y - 6 = 0

Agora resolvemos para y:

5 \cdot y= 6

y = \dfrac{6}{5}

Ou seja, as coordenadas y dos pontos de intersecção são y = 0 e y = \dfrac{6}{5}

Para encontrar as coordenadas x, basta substituir esses valores de y na equação da reta r. Quando y = 0:

 2 \cdot x_1 + 4 \cdot 0 = 12

2 \cdot x_1 + 0 = 12

2 \cdot x_1 = 12

x_1 = \dfrac{12}{2}

x_1 = 6

E quando y = \dfrac{6}{5}:

 2 \cdot x_2 + 4 \cdot \dfrac{6}{5} = 12

 2 \cdot x_2 +  \dfrac{24}{5} = 12

 2 \cdot x_2 = 12 - \dfrac{24}{5}

12 é o mesmo que 60/5:

 2 \cdot x_2 = \dfrac{60}{5} - \dfrac{24}{5}

 2 \cdot x_2 = \dfrac{36}{5}

Passando o 2 dividindo para o outro lado:

x_2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{36}{5}

x_2 = \dfrac{36}{10}

Dividindo numerador e denominador por 2:

x_2 = \dfrac{18}{5}

Então as coordenadas dos pontos de intersecção entre reta e circunferência são:

\boxed{P_1 = (6,0) \text{ e } P_2 = \left( \dfrac{18}{5}, \dfrac{6}{5}\right)}

Calma que o exercício não acabou ainda.

De acordo com a equação da circunferência, o centro de \lambda é: C = (3, -3).

Dados os pontos P_1, P_2 e C, precisamos fechar um triângulo, para isso, precisamos calcular o comprimento dos três lados. Esse comprimento é dado pela distância entre os pontos:

f = \overline{P_2C} = \sqrt{\left(\dfrac{18}{5}-3 \right)^2+\left(\dfrac{6}{5}-(-3) \right)^2}

Sendo 3 = 15/5:

f = \sqrt{\left(\dfrac{18}{5}-\dfrac{15}{5} \right)^2+\left(\dfrac{6}{5}+\dfrac{15}{5} \right)^2}

f = \sqrt{\dfrac{9}{25}+\dfrac{441}{25}}

f = \sqrt{\dfrac{450}{25}}

f = \sqrt{18}

f = \sqrt{2 \cdot 9} = \sqrt{2 \cdot 3^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3^2}

\boxed{f = 3 \cdot \sqrt{2}}

g = \overline{P_1C} = \sqrt{\left(6-3 \right)^2+\left(0-(-3) \right)^2}

g = \sqrt{\left(3\right)^2+\left(3 \right)^2}

g = \sqrt{9+9}

g = \sqrt{18}

g = \sqrt{2 \cdot 9} = \sqrt{2 \cdot 3^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3^2}

\boxed{g = 3 \cdot \sqrt{2}}

E:

h = \overline{P_1P_2} = \sqrt{\left(6-\dfrac{18}{5} \right)^2+\left(0-\dfrac{6}{5} \right)^2}

Dado que 6 = 30/5:

h = \sqrt{\left(\dfrac{30}{5} - \dfrac{18}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{6}{5} \right)^2}

h = \sqrt{\left(\dfrac{12}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{6}{5} \right)^2}

h = \sqrt{\dfrac{144}{25}+\dfrac{36}{25}}

h = \sqrt{\dfrac{180}{25}} = \dfrac{\sqrt{180}}{\sqrt{25}}

h = \dfrac{\sqrt{36 \cdot 5}}{5} = \dfrac{\sqrt{6^2} \cdot \sqrt{5}}{5}

\boxed{h =\dfrac{6 \cdot \sqrt{5}}{5}}

Atenção, o resto da resolução está nas figuras em anexo. A resposta ficou muito longa, não deu para postar tudo junto!

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