Question

(UFJF) Sejam f: IR→IR e g: IR→IR funções defi-
nidas por f(x)=x-14 e g(x)= -x² +6x-8, respec-
tivamente.
a) Determine o conjunto dos valores de x tais que
f(x) > g(x).
b) Determine o menor número real k tal que
f(x)+k g(x) para todo x E IR.​

Answer 1

O exercício pede conceitos de funções, em especial, comparações entre elas e resolução de zeros de polinômios de grau 2.

Temos f e g, definidas dos reais para os reais, tal que

$f(x)=x-14$

$g(x)=-x^2+6x-8$

a) Queremos saber o conjunto Q definido:

$Q=\{x:f(x)>g(x)\}$

O que é análogo a dizer:

$f(x)-g(x)>0$

Que, substituindo,

$x-14+x^2-6x+8>0$

$x^2-5x-6>0$

Encontrando as raízes, obtemos:

$x_1=\dfrac{5+\sqrt{25+24}}{2}, x_2= \dfrac{5-\sqrt{25+24}}{2}$

$x_1 =6, x_2=-1$

Portanto, podemos substituir:

$(x-6)(x+1)>0$

Isso ocorre se e somente se, (x-3) e (x-2) tiverem o mesmo sinal:

$x-6>0\: e \: x+1>0$

$x>6 \: e \: x>-1$

$x \in (6,\infty)$

$x-6<0\: e \: x+1<0$

$x<6\: e \: x<-1$

$x \in (-\infty, -1)$

Portanto,

$Q = (-\infty,-1) \cup (6,\infty)$

b) Queremos o menor número k tal que

$f(x)+k\geq g(x)$

Que é análogo a dizer que, para todo valor de x,

$f(x)-g(x)+k\geq 0$

Temos a função f(x)-g(x) calculada do exercício anterior, portanto:

$x^2-5x-6+k\geq0$

Queremos o valor de k para o qual x seja positivo em todo domínio, ou seja, queremos uma função em que o vértice da equação quadrática se encontre no eixo x, de modo análogo, uma equação a qual o discriminante seja nulo, portanto, teremos:

$\Delta = b^2-4ac=0$

$4ac=b^2$

$4*1*(k-6)=(-5)^2$

$4k-24=25 \implies 4k = 49$

$\therefore k = \dfrac{49}{4}$

Assim, o menor k em que a inigualdade se mantém para todo x no domínio de f e g é de 49/4

Qualquer valor de k menor que o encontrado resulta em algum x em que a inigualdade não se dá (tome x = 2,5 para qualquer valor de k menor que 49/4) e um valor maior de k satisfaz a inequação, mas existe um menor k que também satisfaz, portanto, não é o menor possível.