Question

20 PONTOS - FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA

(Pucsp 2016-adaptada) Suponha que uma revista publicou um artigo no qual era estimado que, no ano de 2015 + , com ∈ {0, 1, 2, … , 9, 10}, o valor arrecadado dos impostos incidentes sobre as exportações de certo país, em milhões de dólares, poderia ser obtido pela função:


() = 250 + 12 (/3 )

Caso essa previsão se confirme, qual a arrecadação máxima e mínima? Em quais anos ocorrerão as duas? Esboce o gráfico da função.​

Answer 1

Os únicos valores que atingem máximo serão x=6 e x=0 (porque $cos(0)=1$) e os únicos valores que atingem máximo serão x=3 e x=9.

Para cada ano, a partir de 2015, teremos que a arrecadação de impostos anuais será descrito por uma função cosseno.

A função cosseno admite máximos em $cos(2n\pi)=1$ e mínimos em $cos((2n-1)\pi)=-1$.

n representa um número inteiro, positivo ou negativo.

Ou seja, teremos o máximo nos casos $cos(0)=cos(2\pi)=cos(4\pi)=...=1$

e minimos nos casos $cos(\pi)=cos(3\pi)=cos(5\pi)=...=-1$

Seja então a equação $f(x)=250+12cos(\dfrac{\pi}{3}x)$

Esta equação atingirá máximo quando $cos(\dfrac{\pi}{3}x)=1$ e alcançará minimo quando $cos(\dfrac{\pi}{3}x)=-1$

Vamos começar pelos máximos.

Para que cosseno atinja o máximo, x precisa ter valores que façam a fração $\dfrac{\pi}{3}x=\dfrac{3*2*n\pi}{3}=1$

Os únicos valores que atingem máximo serão x=6 e x=0 (porque $cos(0)=1$)

A arrecadação máxima será 250+12=162 milhões de dólares

Vamos verificar os mínimos.

Para que cosseno atinja o mínimo, x precisa ter valores que façam a fração $\dfrac{\pi}{3}x=\dfrac{3*(2n-1)\pi}{3}=-1$

Os únicos valores que atingem mínimo serão x=3 e x=9.

A arrecadação mínima será 250-12=238 milhões de dólares.