Question

Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela na função f(x, y) = 2 ln x + ln y - 4x - y

Answer 1

Seja $f(x, y) = 2 \ln x + \ln y - 4x - y.$

O gradiente de $f$ é:

$\vec{\nabla}f(x,y) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right),$

onde:

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(2\ln x + \ln y - 4x - y) = \dfrac{2}{x} - 4,\\\\\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(2\ln x + \ln y - 4x - y) = \dfrac{1}{y} - 1.$

Assim, vem:

$\vec{\nabla}f(x,y) = \left(\dfrac{2}{x} - 4,\dfrac{1}{y} - 1\right).$

Os pontos de estacionaridade de $f$ correspondem aos pontos nos quais o gradiente se anula, ou seja:

$\vec{\nabla}f(x,y) = \vec{0} \iff \left(\dfrac{2}{x} - 4,\dfrac{1}{y} - 1\right) = (0,0) \iff \begin{cases}\dfrac{2}{x}-4 = 0 \\\\ \dfrac{1}{y} - 1 = 0\end{cases} \iff \\\\\iff \begin{cases}\dfrac{2}{x} = 4 \\\\ \dfrac{1}{y} = 1\end{cases} \iff \begin{cases}\dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{4} \\\\ y = 1\end{cases} \iff \begin{cases}x = \dfrac{1}{2} \\\\ y = 1\end{cases} \iff (x,y) = \left(\dfrac{1}{2},1\right).$

Para saber se o ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos analisar a matriz hessiana:

$\textrm{H}f(x,y) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{bmatrix},$

onde:

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -\dfrac{2}{x^2},\\\\\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\dfrac{1}{y^2},\\\\\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 0.$

Portanto:

$\textrm{H}f(x,y) = \begin{bmatrix} -\dfrac{2}{x^2} & 0 \\\\ 0 & -\dfrac{1}{y^2}\end{bmatrix}.$

No ponto de estacionaridade, temos:

$\textrm{H}f\left(\dfrac{1}{2},1\right) = \begin{bmatrix} -\dfrac{2}{(1/2)^2} & 0 \\\\ 0 & -\dfrac{1}{1^2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 & 0 \\\\ 0 & -1\end{bmatrix}.$

Como a hessiana é diagonal, os seus valores próprios são $-8$ e $-1$, ou seja, são ambos negativos. Como tal, a hessiana é definida negativa e, portanto, $f\left(\frac{1}{2},1\right)$ é um máximo local de $f$.

Resta agora calcular o seu valor:

$f\left(\dfrac{1}{2},1\right) = 2\underbrace{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}_{-\ln 2} + \underbrace{\ln 1}_{=0} - \underbrace{4 \times \dfrac{1}{2}}_{=2} - 1 = -2 \ln 2 -3.$

Resposta: $\boxed{f \textrm{ tem m\'{a}ximo local } -2 \ln 2 -3 \textrm{ no ponto de coordenadas } \left(\dfrac{1}{2},1\right)}.$