Question

O produto das raízes da equação (log2 )^2 = 8 log2 x^2 é:

a) −1

b) −8

c) 16

d) 4

e) 1/4

Answer 1

Fazendo substituições e utilizando propriedades logarítmicas, temos que a resposta é Letra C).

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte equação logarítmica:

$(log_2(x))^2=8.log_2(x^2)$

Eu acredito que esta equação esteja errada e na verdade seja:

$(log_2(x))^2=2.log_2(x^2)$

Mas vou faze-la normalmente e no final você poderá perceber porque acredito que esteja errada.

Assim vamos utilizar propriedades de logaritmos para retirarmos a potencia do logaritmando:

$(log_2(x))^2=8.log_2(x^2)$

$(log_2(x))^2=2.8.log_2(x)$

$(log_2(x))^2=16.log_2(x)$

Agora vamos substituir log2(x) por outra letra para simplificar, como por exemplo y:

$log_2(x)=y$

$(log_2(x))^2=16.log_2(x)$

$y^2=16y$

Esta é uma equação do segundo grau que tem duas raízes:

$y_1=0$

$y_2=16$

Mas nós não queremos y, queremos x, então vamos voltar para x usando a relação que criamos anteriormente.

Para $y_1=0$:

$log_2(x)=y$

$log_2(x)=0$

$2^0=x$

$x_1=1$

Para $y_1=16$:

$log_2(x)=y$

$log_2(x)=16$

$2^16=x$

$x_2=65536$

Agora que temos as duas raízes, vamos multiplica-las:

$x_1.x_2$

$1.65536=65536$

E esta é a multiplicação das raízes, e por isto acho que esta errada. Vou refazer agora a questão do jeito que eu acho que esta certo e você verá que encaixa certinho com as alternativas:

Assim vamos utilizar propriedades de logaritmos para retirarmos a potencia do logaritmando:

$(log_2(x))^2=2.log_2(x^2)$

$(log_2(x))^2=2.2.log_2(x)$

$(log_2(x))^2=4.log_2(x)$

Agora vamos substituir log2(x) por outra letra para simplificar, como por exemplo y:

$log_2(x)=y$

$(log_2(x))^2=4.log_2(x)$

$y^2=4y$

Esta é uma equação do segundo grau que tem duas raízes:

$y_1=0$

$y_2=4$

Mas nós não queremos y, queremos x, então vamos voltar para x usando a relação que criamos anteriormente.

Para $y_1=0$:

$log_2(x)=y$

$log_2(x)=0$

$2^0=x$

$x_1=1$

Para $y_1=4$:

$log_2(x)=y$

$log_2(x)=4$

$2^4=x$

$x_2=16$

Agora que temos as duas raízes, vamos multiplica-las:

$x_1.x_2$

$1.16=16$

E com esta versão encaixa perfeitamente na Letra c).