Question

Considere o argumento:

P ∨ Q, ~Q, P → R |- R

Analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.

I. O argumento apresentado é válido.

Porque

II. Se construirmos a tabela verdade da proposição composta ((P ∨ Q)∧( ~Q)∧( P → R)) → R, veremos que trata-se de uma tautologia.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

Alternativa 1:
As asserções I e II são frases verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.


Alternativa 2:
As asserções I e II são frases verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.


Alternativa 3:
A asserção I é uma frase verdadeira, e a II é uma frase falsa.


Alternativa 4:
A asserção I é uma frase falsa, e a II é uma frase verdadeira.


Alternativa 5:
As asserções I e II são frases falsas.

Answer 1

Vamos fazer a tabela de verdade da proposição composta:

$X = [(P \vee Q) \wedge (\neg Q) \wedge (P \to R)] \to R.$

Temos então:

$\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|c|}P & Q& R & P \vee Q & \neg Q & P \to R & (P \vee Q) \wedge (\neg Q) \wedge (P \to R) & X\\ - & - & - & - & - & - & - & - \\ V & V & V & V & F & V & F & V \\ V & V & F & V & F & F & F & V \\ V & F & V & V & V & V & V & V \\ V & F & F & V & V & F & F & V \\ F & V & V & V & F & V & F & V \\ F & V & F & V & F & V & F & V \\ F & F & V & F & V & V & F & V \\ F & F & F & F & V & V & F & V \\\end{array}$

Verificamos que de facto $X$ é uma tautologia, pelo que II. é verdadeira.

Por outro lado, se $X$ é uma tautologia, verificamos que é impossível as premissas do argumento serem verdadeiras e a conclusão ser falsa. Por outras palavras, o argumento é válido, pelo que I. é verdadeira. Além disso, verificamos deste modo que II. é uma justificação para I.

Podemos também concluir que o argumento é válido utilizando regras de inferência, nomeadamente o silogismo disjuntivo ($A \vee B, \neg A \vdash B$) e o modus ponens ($A \to B, A \vdash B$).

Resposta: $\boxed{\textrm{Alternativa } 1}.$