Question

Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em dez parcelas fixas e iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo

2) Considerando o item anterior(1) que a parcela de número 6 tinha o valor de 1000,00. Qual o valor total a ser pago no ato da 6ª parcela considerando as condições de quitação da dívida antecipada mencionadas no item anterior (1)

Answer 1

(1) A expressão que corresponde ao valor total pago é:

$P+\frac{P}{(1+i)^1}+\frac{P}{(1+i)^2}+\frac{P}{(1+i)^3}+\frac{P}{(1+i)^4}$

(2) O valor, sob juros de 2% ao mês, é R$ 4.807,73.

Esta questão está relacionada com o desconto composto. Nesse caso, a taxa de desconto é calculada em função do valor futuro, considerando os juros da operação, conforme a seguinte equação:

$VP=\frac{VF}{(1+i)^t}$

Onde:

VP: valor presente;

VF: valor futuro;

i: taxa de juros;

t: números de períodos.

Nesse caso, veja que a sexta parcela possui o próprio valor P e as outras parcelas possuem desconto em relação ao tempo de adiantamento. Somando todos, obtemos o seguinte valor:

$Total=P+\frac{P}{(1+i)^1}+\frac{P}{(1+i)^2}+\frac{P}{(1+i)^3}+\frac{P}{(1+i)^4} \\ \\ Total=\boxed{P(1+\frac{1}{(1+i)^1}+\frac{1}{(1+i)^2}+\frac{1}{(1+i)^3}+\frac{1}{(1+i)^4})}$

Para efetuar os cálculos, precisamos também da taxa de juros, além do valor da prestação. Vamos considerar uma taxa de 2% ao mês. Com isso, obtemos o seguinte valor:

$Total=1.000,00(1+\frac{1}{(1+0,02)^1}+\frac{1}{(1+0,02)^2}+\frac{1}{(1+0,02i)^3}+\frac{1}{(1+0,02)^4}) \\ \\ Total=4.807,73$