Question

Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = tg(x) no ponto (pi/4, 1)

Answer 1

A equação da reta é dada por:

$y-y_o~=~m\,.\,(x-x_o)$

Na equação "m" é o coeficiente angular e (xo , yo), um ponto qualquer da reta.

O coeficiente angular pode ser calculado de diversas formas, no entanto como estamos interessados em uma reta tangente a uma curva, podemos obter este coeficiente pela taxa de variação da função calculada no ponto de interesse ou, em outras palavras, a derivada da função no ponto dado.

Sendo assim, temos:

$\frac{df(x)}{dx}~=~tg\left(x\right)'\\\\\\Essa derivada~\acute{e}~conhecida/tabelada,~no~entanto~podemos~calcula-la\\utilizando~a~regra~do~quociente:\\\\\\\frac{df(x)}{dx}~=~\left(\frac{sin(x)}{cos(x)}\right)'\\\\\\\frac{df(x)}{dx}~=~\frac{sin(x)'\,.\,cos(x)~-~cos(x)'\,.\,sin(x)}{cos^2(x)}\\\\\\\frac{df(x)}{dx}~=~\frac{cos(x)\,.\,cos(x)~+~sin(x)\,.\,sin(x)}{cos^2(x)}$

$\frac{df(x)}{dx}~=~\frac{cos^2(x)~+~sin^2(x)}{cos^2(x)}\\\\\\\frac{df(x)}{dx}~=~\frac{1}{cos^2(x)}\\\\\\\boxed{\frac{df(x)}{dx}~=~sec^2(x)}$

Podemos agora calcular o valor de "m", substituindo a coordenada "x" do ponto dado na derivada calculada:

$m~=~\frac{df(\frac{\pi}{4})}{dx}\\\\\\m~=~sec^2(\frac{\pi}{4})\\\\\\m~=~\sqrt{2}^{\,2}\\\\\\\boxed{m~=~2}$

Por fim, substituindo o ponto e o coeficiente angular na equação da reta:

$y-1~=~2\,.\,(x-\frac{\pi}{4})\\\\\\y-1~=~2x~-~\frac{\pi}{2}\\\\\\\boxed{y~=~2x~+~1~-~\frac{\pi}{2}}$