Question

Deseja-se construir um galpão retangular no terreno triangular. Veja a figura a seguir.


A- expresse a área do galpão como função de seu lado horizontal. Dica: use semelhança de triângulos.


B- quais devem ser as medidas do galpão para que a área seja a maior possível? Qual a área máxima?

Answer 1

A área do galpão como função de seu lado horizontal é S = 30y - 1,5y²; As medidas do galpão serão 10 m e 15 m. A área máxima será 150 m².

a) Observe a figura abaixo.

Vamos considerar que a base do retângulo é y e a altura do mesmo é x.

Como AC = 30, então AD = 30 - x.

Como AB = 20, então BF = 20 - y.

Os triângulos ABC e BEF são semelhantes. Então, é correto dizer que:

30/20 = x/(20 - y)

30(20 - y) = 20x

600 - 30y = 20x

x = 30 - 1,5y.

Portanto, a área do galpão em função do seu lado horizontal é:

S = y(30 - 1,5y)

S = 30y - 1,5y².

b) Queremos que a área seja máxima. Então, vamos calcular as coordenadas do vértice da função do segundo grau S = 30y - 1,5y²:

Coordenada x: -30/2.(-1,5) = 30/3 = 10.

Coordenada y: -(30²)/4.(-1,5) = 900/6 = 150.

A área máxima será 150 m², já as medidas do galpão serão: 10 e 15 m.