Question

Esboce o gráfico da função f(x) = $\frac{1}{x}, x \ \textless \ 0\\\\x^{2}, 0\leq x \ \textless \ 1\\responda\\ 2, x=1\\2-x \\x \ \textgreater \ 1$


A função é contínua em X=1? Justifique.
(verificar anexos)

Answer 1

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a função dada por:

$f(x) = \begin{cases}\dfrac{1}{x}, & \textrm{se } x <0 \\\\ x^2, & \textrm{se } 0 \leq x < 1\\\\\ 2, & \textrm{se } x = 1 \\\\ 2-x, & \textrm{se } x > 1 \end{cases}.$

O esboço da função $f$ encontra-se na figura em anexo, a roxo.

Como a função está definida por ramos, os limites quando $x \to 1$ e $x \to 0$ terão de ser avaliados a partir dos limites laterais, uma vez que a expressão a utilizar depende se nos aproximamos da direita ou da esquerda.

Temos então para $x \to 1$:

$\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1.$

$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (2-x) = 2-1 = 1.$

Logo, o limite quando  $x \to 1$ existe, pois os limites laterais são iguais:

$\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 1.$

Para $x \to 0$, vem:

$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{0^-} = - \infty.$

$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} x^2 = 0^2 = 0.$

Logo, o limite quando  $x \to 0$ não existe, pois os limites laterais são diferentes:

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) \textrm{ n\~{a}o existe}.$

O limite quando $x \to 2$ é mais simples, pois o ramo de $f$para $x > 1$ é contínuo:

$\lim\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) = 2-2 = 0.$

Note que os limites obtidos analiticamente coincidem com o esperado a partir da análise do gráfico de $f$.