Question

Determine A e B reais de modo que a igualdade (3x + 1)/((x - 2)(x + 2))= A/(x - 2)+B/(x + 2) para todo x real diferente de 2 e -2.

Answer 1

Temos que

$\dfrac{3x + 1}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{A}{ x - 2} + \dfrac{B}{x + 2} \\ \dfrac{3x + 1}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{A(x + 2) +B(x - 2)}{ (x - 2)(x + 2)} \\ \dfrac{3x + 1}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{Ax + 2A+Bx - 2B}{ (x - 2)(x + 2)} \\ \dfrac{3x + 1}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{(A + B)x + 2(A - B)}{ (x - 2)(x + 2)}$

Para que essa igualdade seja válida, devemos ter que

$A+B=3 \: \: \: e \: \: \: 2(A - B)=1$

Ou seja

$A+B=3 \: \: \: e \: \: \: A - B= \dfrac{1}{2}$

Somando as duas equações, obtemos que

$2A = \dfrac{1}{2} + 3 = > 2A = \dfrac{1 + 6}{2} \\ 2A = \dfrac{7}{2} = > A = \dfrac{7}{4}$

$2A = \dfrac{1}{2} + 3 = > 2A = \dfrac{1 + 6}{2} \\ 2A = \dfrac{7}{2} = > A = \dfrac{7}{4} \\ = > A+B = 3 = > \dfrac{7}{4} +B = 3 \\ = > B = 3 - \dfrac{7}{4} = > B = \dfrac{5}{4}$