Question

Derive as funções abaixo :
g(x)= 3x -1/2x +1

y=x³/1 - x²
f(z)=(1 - e^z)(z +e^z)
h(u)=( u - raiz de u) ( u + raiz de u)

Answer 1

Bom dia,
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Derivando $g(x)=3x-\frac{1}{2x}+1$, com relação à x,temos,
$g'(x)=\frac{d(3x-\frac{1}{2x}+1}{dx}$
$g'(x)=\frac{d(3x)}{dx}-\frac{d(\frac{1}{2x})}{dx}+\frac{d(1)}{dx}$
$g'(x)=3\frac{d(x)}{dx}-\frac{1}{2}\frac{d(\frac{1}{x})}{dx}+0$ A derivada de uma constante é igual a zero e ao  multiplicarmos uma derivada por uma constante, a constante pode sair da derivada.
$g'(x)=3(1)-\frac{1}{2}\frac{d(x^(-1))}{dx}$
$g'(x)=3-\frac{1}{2}(-1)*x^{-2}$
$g'(x)=3+\frac{1}{2x^{2}}$
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Derivando y com relação à x,temos,
$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{3}-x^{2})}{dx}$
$\frac{d(y)}{dx}=\frac{d(x^{3}}-\frac{d(x^{2}}{dx}$
$\frac{d(y)}{dx}=3x^{2}-(2x)$
$\frac{dy}{dx}=3x^{2}-2x$
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Como f(z) apresenta-se como um produto de dois, termos, iremos simplificá-lo, para ficar mais fácil a derivação.
$f(z)=(1-e^{z})(z+e^{z})$
$f(z)=1(z+e^{z})-e^{z}(z+e^{z})$
$f(z)=z+e^{z}-ze^{z}-e^{2z}$
Derivando f(z), com relação a z, temos,
$f'(z)=1+e^{z}-(1*e^{z}+ze^{z})-(2e^{2z})$ A derivada de $e^{2z}$ é feita pela regra da cadeia, ou seja, precisamos derivar $e^{2z}$ e $2z$
$f'(z)=1+e^{z}-e^{z}+ze^{z}-2e^{2z}$
$f'(z)=1+ze^{z}-2e^{2z}$
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SImplificando h(u), temos,
$h(u)=(u-\sqrt{u})(u+\sqrt{u})$
Aplicando $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b$
$h(u)=u^{2}-(\sqrt{u})^{2}$
$h(u)=u^{2}-|u|$
Pois $(\sqrt{u})^{2}=|u|$, logo temos que dividir a derivação em duas partes,
Se $u>=0$, então $h(u)=u^{2}-u$
Se $u<0$, então $h(u)=u^{2}+u$
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Derivando h(u) com relação à u, quando u>=0, temos,
$\frac{d(h(u))+}{du}=2u-1$
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Derivando h(u) com relação à u, quando u<0, temos,
$\frac{d(h(u))-}{du}=2u+1$

Para se ter uma derivada às suas derivadas laterais, tem que ser iguais, ou seja,
$\frac{d(h(u)}{du}$ Existe se,
$\frac{d(h(u)}{du}=\frac{d(h(u)+}{du}=\frac{d(h(u)-)}{du}$

Igualando as derivadas laterais, temos,
$2u-1=2u+1$
$2u-2u=1+1$
$u(2-2)=1+1$
$u(0)=2$
$0=2$
Como 2 é diferente de 0, então as derivas laterais de h(u) são diferentes, logo,
a derivada de h(u) não existe.