Question

Um reservatório de água tem base quadrada e formato de um prisma reto com tampa. Seu volume é 10 m³ e o custo do material utilizado na construção é R$100,00 por m². Quais as dimensões do reservatório que minimizam o custo do material utilizado na construção?

Answer 1

Utilizando derivada e pontos extremos,  temos que tanto as arestas da base quanto a altura medem raiz cubica de 10, para que esta área seja minima.

Explicação passo-a-passo:

Se este prisma é de base quadrado seu volume é dado então por:

$V=l^2.h$

Onde l é a aresta da base e h a altura. Assim sabemos seu volume:

$10=l^2.h$

Isolando h:

$h=\frac{10}{l^2}$

E podemos usar a formula de área total também:

$A=2.l^2+4.l.h$

Substituindo o valor de h encontrado acima na equação da área:

$A=2.l^2+4.l.h$

$A=2.l^2+4.l.\frac{10}{l^2}$

$A=2l^2+\frac{40}{l}$

Agora temos uma função da área pela aresta da base, então basta derivarmos e encontrarmos o ponto minimo:

$A=2l^2+\frac{40}{l}$

$A'=4l-\frac{40}{l^2}$

Igualando a derivada a 0 para encontrar o ponto minimo:

$A'=4l-\frac{40}{l^2}$

$0=4l-\frac{40}{l^2}$

$4l=\frac{40}{l^2}$

$4l^3=40$

$l^3=10$

$l=\sqrt[3]{10}$

Assim temos que a aresta da base é raiz cubica de 10, então vamos descobrir a altura deste prisma:

$10=l^2.h$

$10=(\sqrt[3]{10})^2.h$

$10=(10^{\frac{1}{3})^2.h$

$10=10^{\frac{2}{3}}.h$

$10^{1-\frac{2}{3}}=h$

$10^{\frac{1}{3}}=h$

Assim temos que tanto as arestas da base quanto a altura medem raiz cubica de 10, para que esta área seja minima.