Question

Esboce os graficos das funcoes indicadas a seguir no mesmo sistema de coordenadas
a) f(x) = cos x
b) g(x) = 5 + cos x
c) h(x) = -3 + cos x
d) m(x) = 5 . cos x

Answer 1

Uma função cosseno é dada na forma:

$f(x)~=~a\,.\,cos(w.x+\theta)+b$

Neste modelo, temos:

$\rightarrow~a:~Amplitude~da~senoide\\\\\\\rightarrow~b:~Offset,~provoca~um~"deslocamento"~vertical~da~funcao\\~~~~~~~~~~~em~relacao~ao~eixo~"x"\\\\\\\rightarrow~\theta:~Fase,~provoca~um~"deslocamento"~horizontal~da~funcao~\\~~~~~~~~~~~em~relacao~ao~eixo~"y"\\\\\\\rightarrow~w:~Frequencia~Angular,~se~relaciona~ao~periodo~por:~T~=~\frac{2\pi}{w}$

Vamos então esboçar todas cossenoides tendo como base a função cosseno "pura", ou seja, f(x) = cos(x).

Como esta função é base para as outras, convém conhecer sua forma, assim como os pontos principais (cossenos de arcos notáveis), período (2π), amplitude (1 unidade) e seus valores máximo e minimo (+1 e -1).

a)

Como falado brevemente acima, esta é a função cosseno "pura".

Tendo como base o modelo, temos:

--> a = 1

--> w = 1

--> θ = 0

--> b = 0

A função, que utilizaremos como base para as demais, pode ser vista no anexo1.

b)

Nesta cossenoide, temos a primeira alteração feita na função f(x) = cos(x) que utilizamos como base.

Perceba que agora temos b = 5 , ou seja, a função "original" será deslocada 5 unidades para cima, já que "b" é positivo.

A função g(x) pode ser vista no anexo2.

Note que a amplitude e o período permanecem inalterados, no entanto os valores máximo e minimo "acompanham" o deslocamento ficando, respectivamente, 6 (1+5) e 4 (-1+5).

c)

Como na função anterior, teremos aqui, também, um deslocamento vertical. A diferença se dá no sentido do deslocamento, como b=-3 (numero negativo), esse deslocamento será de 3 unidades para baixo.

A função h(x) pode ser vista no anexo3.

Note que a amplitude e o período permanecem inalterados, no entanto os valores máximo e minimo "acompanham" o deslocamento ficando, respectivamente, -2 (1-3) e -4 (-1-3).

d)

Por fim, na função m(x) temos uma alteração na amplitude, já que a=5 e a função "original" terá sua amplitude, então, quintuplicada.

Com isso, os valores minimo e máximo da função cos(x) serão também alterados, passando a valer -5 e +5 respectivamente.

Perceba no anexo4 que nessa alteração de amplitude, pode ser vista como se estivéssemos "esticando" a função cos(x) no sentido vertical.

Ainda, no anexo5, podemos ver um "mix" de alterações (como bônus) na função em vermelho. Em azul a função cos(x) para comparação.

A função bônus é f(x) = 2 + 3cos(2x + π/4)

Perceba que nesta função, em relação ao cosseno puro:

--> triplicamos a amplitude

--> deslocamos 2 unidade para cima

--> reduzimos o período a metade (período, agora, igual a π)

--> deslocamos em π/4 horizontalmente para esquerda (θ positivo).