Question

x^2 - 9 se x ≥ 3
-x + 3 se x< 3
A f é derivável no ponto x =3? DemosntrarDigite a equação aqui.

Answer 1

Resposta:

Olá  Andreasiliane. Estamos tratando de Cálculo Diferencial. Neste exercício, iremos usar de um teorema muito importante no Cálculo 1. Vamos lá.

Explicação passo-a-passo:

O Teorema nos diz que, se f é derivável num ponto a, então f é contínua em a. Utilizando a lógica, teremos:

$p \Rightarrow q \iff \neg q \Rightarrow \neg p$

Isto significa que:

Se f não for contínua, então f não pode ser derivável.

A pergunta é: f é contínua em x=3?

Mais um teorema nos diz que, se os limites laterais existirem, então o limite da função existe. Neste caso, queremos calcular:

$\lim_{x \to 3} f(x)$

Calculemos inicialmente:

1) $\lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3^+} x^2-9$

Como, toda função polinomial de qualquer grau n é contínua, segue que f é contínua e, portanto:

$\lim_{x \to 3} x^2-9=f(3)=3^2-9=9-9=0$

2) $\lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3^+} -x+3$

Como qualquer função polinomial é contínua, segue que f é novamente contínua e, portanto:

$\lim_{x \to 3} -x+3=f(3)=-3+3=0$

Logo, pelo teorema dos limites laterais, segue que:

$\lim_{x \to 3} f(x)=0$ donde f é contínua em x=3.

Logo, f poderá ou não ser derivável em x=3. Verifiquemos a função:

$\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\left \{ {{\frac{(x^2-9)-0}{x-3}, x \geq 3} \atop {\frac{(-x+3)-0}{x-3}, x <3} \right.$

Logo:

$\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\left \{ {{\frac{x^2-9}{x-3}, x \geq 3} \atop {\frac{-x+3}{x-3}, x <3} \right.$

Para $x \geq 3$, teremos:

$\lim_{x \to 3^+} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x \to 3^+} \frac{(x+3).(x-3)}{x-3} =\lim_{x \to 3^+} x+3 = 3+3=6$

Observe que, neste limite, não interessa o valor da função para x=3 e utilizamos a diferença entre dois quadrados.

Para x<3, temos:

$\lim_{x \to 3^+} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x \to 3^+} \frac{-x+3}{x-3}=\lim_{x \to 3^+} \frac{-(x-3)}{x-3} =\lim_{x \to 3^+} -1=-1$

Observe que, neste limite, por sua vez, utilizamos a forma fatorada de colocar em evidência o fator comum -1 e a propriedade do limite de uma constante.

Sendo assim:

$\lim_{x \to 3^+} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} \neq \lim_{x \to 3^-} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}$

Logo, $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ não existe.

∴ f não é derivável em x=3.

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!