Question

Sejam k e k²+2 inteiros positivos. Mostre que:

a) k ou k²+2 é divisível por 3
(Dica: considere a divisão euclidiana de k por 3 e analise o que ocorre para cada um dos possíveis valores do resto da divisão).

b) Se k e k²+2 são primos, então k = 3.

Answer 1

(1) k ou k² + 2 é divisível por três.

(2) k e k² + 2 são primos se k=3.

No primeiro caso, vamos demonstrar que pelo menos um desses dois números é divisível por três. Para isso, devemos ter em mente que temos um múltiplo de 3 a cada três números. Os múltiplos de 3 são escritos na forma 3n. Logo, se "k" não é divisível por três, devemos ter "k=3n+1" ou "k=3n+2". Assim:

$(3n+1)^{2}+2=9n^{2}+6n+1+2=9n^{2}+6n+3=3\times (3n^{2}+2n+1) \\ \\ (3n+2)^{2}+2=9n^{2}+12n+4+2=9n^{2}+12n+6=3\times (3n^{2}+4n+2)$

Veja que em ambos os casos podemos isolar o 3, então eles podem ser divididos por esse valor.

Para demonstrar que "k=3" se ambos os números são primos, vamos analisar a mesma demonstração: veja que os números primos só podem ser divisíveis por 1 e eles mesmos. Uma vez que comprovamos que esses números são divisíveis quando "k≠3", então devemos ter "k=3" e, consequentemente, o outro número será 11, que também é um número primo.