Question

Um acelerador de partículas impulsiona um elétron que descreve, em sua trajetória, uma circunferência de centro O. Ao plano dessa trajetória é associado um sistema cartesiano de origem O cuja a unidade adotada nos eixos coordenados é o hectômetro, e considera-se uma unidade u de tempo, adequada a altas velocidades. Em relação a esse sistema e a essa unidade u de tempo, a abscissa x e a ordenada y de cada ponto em que se localiza o elétron em cada instante t são dadas por: {x= 3 cos t
{Y= 3 sen t
Em que t= 0 indica o intante inicial de marcação do tempo.
a) obtenha a equação, nas variáveis x e y, da trajetória do elétron.
b) após o início da marcação de tempo qual foi o primeiro instante em que o elétron cruzou a bissetriz dos quadrantes ímpares?

Answer 1

O exercício trata de parametrização de curvas. Temos que uma curva c pode ser parametrizada por meio de um parâmetro t, tal que

$c: \left \Bigg\{ \displaystyle{{x=3\cos(t)} \atop {y=3\sin(t)}} \right.$

Daí temos 2 formas de resolver, uma mais intuitiva e outra com mais contas. Começaremos da forma intuitiva. Perceba que a forma parametrizada de c possui o x dependendo do cosseno e y dependendo do seno, por isso torna-se intuitivo partir de uma equação já verdadeira que pode nos ajudar:

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$

Em especial podemos chamar x = t

$\sin^2(t)+\cos^2(t)=1$

E multiplicar por 9 ambos os lados

$9\sin^2(x)+9\cos^2(x)=9$

$(3\sin(t))^2+(3\cos(t))^2=9$

Assim, nos aparece a expressão que relaciona x e y, pois agora podemos substituir:

$(y)^2+(x)^2=9$

Obtendo:

$c: x^2+y^2=9$

Uma circunferência de raio 3.

Agora outro modo que poderíamos obter o mesmo resultado seria trabalhar com as funções parametrizadas.

Sabemos que

$y=3\sin(t)$

$x=3\cos(t)$

Em especial podemos isolar t da segunda expressão de forma a t depender de x, para assim substituirmos t(x) na primeira equação.

$t = \arccos\left(\dfrac{x}{3}\right)$

E substituindo na segunda:

$y=3\sin(\arccos\left(\dfrac{x}{3}\right) )$

Tomando um triângulo retângulo auxiliar com ângulo cujo cosseno é x/3 (que é o que significa arccos(x/3)), obteremos um triângulo retângulo de catetos iguais a x e $\sqrt{9-x^2}$, e hipotenusa igual a 3.

Perceba que este triângulo codifica muito bem o que sen(arccos(x/3)) significa. Assim, teremos que

$\sin(\arccos\left(\dfrac{x}{3}\right) ) =\pm \dfrac{\sqrt{9-x^2}}{3}$

O "mais ou menos" na frente do seno aparece pois, na analogia do triângulo torna-se impossível lado negativo, mas não existe que o seno não possa ser negativo. A analogia do triângulo, na realidade, calcula o módulo das funções trigonométricas. (Recomendo desenhar o triângulo auxiliar caso haja dúvidas.).

Assim,

$y = \pm 3\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{3} = \pm \sqrt{9-x^2]$

Agora possuímos uma função de y(x), para retornamos à curva basta elevar ambos os lados ao quadrado:

$y^2 = 9-x^2$

$c:x^2+y^2=9$

b) A bissetriz dos quadrantes ímpares são todos os pontos os quais y = x, deste modo é possível igualarmos x e y nas equações paramétricas;

$3\sin(t)=3\cos(t)$

$\dfrac{sin(t)}{\cos(t)} = \tan(t) = 1$

O menor t > 0 que satisfaz a igualdade é quando t = π/4