Question

Sejam p e p*2+2 inteiros positivos. Mostre que :
1. P ou p*2+2 é divisível por três.
(Dica: considere a divisão eucludiana de p por três e analise o q ocorre para cada um dos possíveis valores do resto da divisão)
2.Se p e p*2+2 são primos ,então p = -3

Answer 1

(1) p ou p² + 2 é divisível por três.

(2) p e p² + 2 são primos se p=3.

No primeiro caso, vamos demonstrar que pelo menos um desses dois números é divisível por três. Para isso, devemos ter em mente que temos um múltiplo de 3 a cada três números. Os múltiplos de 3 são escritos na forma 3n. Logo, se "p" não é divisível por três, devemos ter "p=3n+1" ou "p=3n+2". Assim:

$(3n+1)^{2}+2=9n^{2}+6n+1+2=9n^{2}+6n+3=3\times (3n^{2}+2n+1) \\ \\ (3n+2)^{2}+2=9n^{2}+12n+4+2=9n^{2}+12n+6=3\times (3n^{2}+4n+2)$

Veja que em ambos os casos podemos isolar o 3, então eles podem ser divididos por esse valor.

Para demonstrar que "p=3" se ambos os números são primos, vamos analisar a mesma demonstração: veja que os números primos só podem ser divisíveis por 1 e eles mesmos. Uma vez que comprovamos que esses números são divisíveis quando "p≠3", então devemos ter "p=3" e, consequentemente, o outro número será 11, que também é um número primo.