Question

Uma das maneiras de definir as curvas cônicas é utilizando um cone. Dependendo da direção em que um plano no espaço intercepta um cone qualquer podemos ter um elipse, uma parábola ou uma hipérbole.

Answer 1

A alternativa que mostra corretamente o nome das curvas resultantes das interseções do cone dado com os planos α, β e γ, respectivamente, é a alternativa a).

Vamos substituir os planos α, β e γ na equação da superfície cônica.

Sendo α: z = x + y + 1, temos que:

x + y + 1 = √(x² + y²)

(x + y + 1)² = x² + y²

(x + y)² + 2(x + y) + 1 = x² + y²

x² + 2xy + y² + 2x + 2y + 1 = x² + y²

2xy + 2x + 2y + 1 = 0.

Sendo β: z = x + 1, temos que:

x + 1 = √(x² + y²)

(x + 1)² = x² + y²

x² + 2x + 1 = x² + y²

y² = 2x + 1.

Sendo γ: z = (2 - x)/2, temos que:

(2 - x)/2 = √(x² + y²)

(2 - x)²/4 = x² + y²

4 - 4x + x² = 4x² + 4y²

3x² + 4y² - 4x = 4.

Portanto, podemos afirmar que:

A interseção da superfície cônica com o plano α é uma hipérbole, com o plano β é uma parábola e com o plano γ é uma elipse.