Question

Seja f uma função definida em R→R, tal que f left parenthesis x right parenthesis equals fraction numerator x minus 16 over denominator x minus 4 end fraction . Determine, stack x rightwards arrow 4 with l i m space f on top .

Answer 1

O exercício pede conceito de limites de uma função de 1 variável, ou seja, dada f definida

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

$f(x)=\dfrac{x-16}{x-4}$

Queremos saber o limite da função, ou seja, para que valor f(x) se aproxima quanto mais x se aproxima de 4.

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow4} \dfrac{x-16}{x-4}$

Podemos calcular este limite calculando os limites laterais da função, ou seja, como a função se comporta caso aproximamos x por um lado ou por outro.

Definimos "aproximar pela direita" quando aproximamos x pelos valores maiores que o x do limite, e denotamos

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow4^+} \dfrac{x-16}{x-4}$

Perceba que conforme chegamos perto, x-16 se aproxima de -12, mas x-4 se aproxima de 0, mas sempre positivo, disso podemos afirmar que, como o numerador tende a ser constante e o denominador tende a zero, o limite tende a mais ou menos infinito, como trata-se de uma divisão de um negativo (-12) por um positivo (tomando x pela direita), obtemos que

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow4^+} \dfrac{x-16}{x-4} = -\infty$

E definimos "aproximar pela esquerda" quando aproximamos x pelos valores menores que o x do limite, e denotamos

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow4^-} \dfrac{x-16}{x-4}$

Assim como o anterior, x-16 tenderá a ser -12, constante, mas x-4 se aproximará de 0 sendo sempre negativo, e pelo mesmo motivo do anterior, o limite será infinito, mas desta vez, será positivo (divisão de positivo por positivo), e valerá

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow4^+} \dfrac{x-16}{x-4} = +\infty$

Assim, apesar de os dois limites se aproximarem de um mesmo ponto, eles divergem e, portanto, não há limite naquele ponto.

O limite

$\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow4} \dfrac{x-16}{x-4}$

Não existe.