Question

Três pessoas compraram um terreno quadrado ABCD, com lado medindo L metros, possuindo uma fonte de água localizada em A. Elas querem reparti-lo em três partes de mesma área como indicado na figura.
Expresse o valor da distância entre os pontos M e N em termos do comprimento L.

OBS) Explore as relações de simetria presentes na figura.

Answer 1

Utilizando formulações de área, temos que a distancia entre M e N é $(MN)=\frac{L\sqrt{2}}{3}$

Explicação passo-a-passo:

Temos então que este terreno tem lado L, logo, sua área é:

$A=L^2$

Vamos agora pegar para analisar somente o triangulo marcado em ADN, se este terreno foi dividido em áreas iguais, então este triangulo tem 1/3 da área total, e a área de um triangulo é base vezes altura sobre 2:

$A=\frac{(ND).L}{2}$

E esta área é igual a 1/2 da área anterior:

$A=\frac{(ND).L}{2}=\frac{1}{3}L^2$

$(ND).L=\frac{2}{3}L^2$

$(ND)=\frac{2}{3}L$

Assim sabemos que o segmento ND tem comprimento 2/3 L, logo o comprimento CN tem 1/3 L, assim podemos pensar em uma pequeno triangulo retângulo ligando os pontos MCN, onde a hipotenusa é exatamente a distancia entre M e N, e como os catetos medem 1/3 L, podemos usar o teorema de Pitágoras:

$(MN)^2=(\frac{1}{3}L)^2+(\frac{1}{3}L)^2$

$(MN)^2=\frac{1}{9}L^2+\frac{1}{9}L^2$

$(MN)^2=\frac{2}{9}L^2$

$(MN)=\sqrt{\frac{2}{9}L^2}$

$(MN)=\frac{L\sqrt{2}}{3}$

Assim temos que a distancia entre M e N é $(MN)=\frac{L\sqrt{2}}{3}$