Question

Mostre pela definição que $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} ={\\+ \infty}$ Passo a passo please.

Answer 1

Pretendemos mostrar por definição que:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty.$

Seja $f: D \to \mathbb{R}$ a função dada por:

$f(x) = \dfrac{1}{x^2}.$

Como o denominador se anula para $x = 0$, o domínio é $D = \mathbb{R}\setminus\{0\}$. Por definição, temos então:

$\forall M > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall x \in D: 0 < |x| < \delta \implies |f(x)| > M.$

Isto significa que para qualquer limite $M$ que se imponha à função $f$, existe um objeto $x$ suficientemente próximo de $0$ tal que $f(x) > M$:

$|f(x)| > M \iff \left|\dfrac{1}{x^2}\right| > M \iff \dfrac{1}{x^2} > M \iff x^2 < \dfrac{1}{M} \iff |x| < \dfrac{1}{\sqrt{M}}.$

Com base no que foi dito acima, provamos então o pretendido.

Seja $M > 0$ dado e tome-se $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{M}}$. Vem então:

$|x| < \delta = \dfrac{1}{\sqrt{M}} \iff |x|^2 < \dfrac{1}{M} \iff \left|\dfrac{1}{x^2}\right| > M,$

tal como pretendíamos provar.