Question

A integral, em termos geométrico, equivale à área abaixo de uma curva ou função plotada em um gráfico. Para calcularmos a área por integração, deveremos resolver uma integral na forma ou , dependendo da ordem de integração escolhida.

(pergunta na foto)

Answer 1

Utilizando integração definida, temos que esta área vale 16/3.

Explicação passo-a-passo:

Então queremos saber a área abaixo desta função:

$f(x)=\frac{3x+2}{3}$

Vamos primeiramente separar esta base, pois fica mais simples de integrar depois:

$f(x)=\frac{3x+2}{3}$

$f(x)=\frac{3x}{3}+\frac{2}{3}$

$f(x)=x+\frac{2}{3}$

Agora queremos a área embaixo desta curva ao longo de [1,3], então basta integrarmos:

$\int_{1}^{3} x+\frac{2}{3} dx$

Agora basta encontrarmos a função primitiva desta e substituirmos nos pontos:

$\int_{1}^{3} x+\frac{2}{3} dx$

$[\frac{x^2}{2}+\frac{2}{3}x]{1}^{3}$

$[\frac{3^2}{2}+\frac{2}{3}.3-\frac{1^2}{2}-\frac{2}{3}.1]$

$[\frac{9}{2}+2-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}]$

$[\frac{9-1}{2}+2-\frac{2}{3}]$

$[\frac{8}{2}+2-\frac{2}{3}]$

$[4+2-\frac{2}{3}]$

$[6-\frac{2}{3}]$

$[\frac{18}{3}-\frac{2}{3}]$

$[\frac{18-2}{3}]$

$[\frac{16}{3}]$

Assim temos que esta área vale 16/3.