Question

Olá! Podem me ajudar? A pergunta é sobre derivadas (Regras básicas de Derivação), da matéria de Cálculo 01. Eu coloquei as questões em anexo, para ficar melhor de entender.

Obrigada!!

Answer 1

Resposta:1)$90x^4-132x^3-105x^2+154x$

2)$\frac{-2,5x^{3/2}-2\sqrt{x} }{(x^2-2x)^2}$

Explicação passo-a-passo: Vamos lá!!!

Aqui na explicação levarei em conta que você já detem o conhecimento base sobre o que de fato é uma derivado e o que ela representa em um gráfico. Tomando isso em conta.

As derivadas existem regras nas derivações dependendo de como se encontra a equação ou parte dela. Vamos a um exemplo pratico e simples.

temos que :

$x^2-7x$ e para derivar essa equação vamos de termo em termo(entende-se termo como "x²" e "-7x" nesse exemplo)

o primeiro termo "x²" se deriva jogando o expoente para antes do X multiplicando e subtraindo 1 do valor do expoente, assim:

$x^2\\2*x^{2-1}\\2*x$ Assim temos que a derivada de "x²" é "2x"

continuando com a equação a derivada de -7x=-7.

Tendo como resultado a equação derivada 2x-7;

outra equação que temos é esta:

$\frac{x^2-1}{x-3}$

o problema com essa é que tem fração e não podemos usar o mesmo método de analise de termos como fizemos no primeiro exemplo. Assim utilizaremos uma fórmula de derivada de frações que é:

$\frac{f'.g-f.g'}{g^2}$

sendo f= numerador da fração(tem-se como parte de cima)

          f'=derivada do numerador

          g= denominador(tem-se como parte de baixo)

          g'= derivada do denominador

Agora vamos aplicar a fórmula na equação exemplo:

$\frac{x^2-1}{x-3}\\f=x^2-1\\f'=2x\\g=x-3\\g'=1$

Como obtemos os temos necessários vamos para formula final;

$\frac{(2x)(x-3)-(x^2-1)(1)}{(x-3)^2}=\\\frac{ 2x^2-6x-x^2+1}{(x-3)^2}=\\\frac{x^2-6x+1}{(x-3)^2}$

Temos tambem a derivada do produto(multiplicação):

(x²-2)(x-4) Você pode aplicar a distributiva e fazer derivada normalmente ou usar a fórmula do produto que é

$f'.g+f.g'$

sendo "f" o primeiro termo (x²-2)

             f'=derivada do primeiro termo

             g= segundo termo(x-4)

             g'= derivada do segundo termo

resolvendo o exemplo temos;

$f=x^2-2\\f'=2x\\g=x-4\\g'=1$

$(2x)(x-4)+(x^2-2)(1)=\\2x^2-8x+x^2-2=\\x^2-8x-2$

Obtemos a derivada do produto.

Com isso em mente vamos a alguns dos exercícios propostos:

1)$(3x^4-7x^2)(5x-11)=\\f=3x^4-7x^2\\f'=4.3x^{4-1}-2.7x^{2-1}=12x^3-14x\\g=5x-11\\g'=5$

$(12x^3-14x)(5x-11)+(3x^4-7x^2)(5)=\\75x^4-132x^3-70x^2+154x+15x^4-35x^2=\\90x^4-132x^3-105x^2+154x$

2)$\frac{\sqrt{x}}{x^2-2x}$ Aqui temos uma raiz, porem para facilitarmos transfomaremos em uma potencia, assim como demonstro no anexo 1

$\frac{x^{1/2}}{x^2-2x}\\ f=x^{1/2}\\f'=\frac{1}{2}x^{(1/2-1)}=\frac{x^{-1/2}}{2}\\ g=x^2-2x\\g'=2x-2$

$\frac{(\frac{x^{-1/2}}{2})(x^2-2x)-(x^{1/2})(2x-2)}{(x^2-2x)^2}$

$\frac{-2,5x^{3/2}-2\sqrt{x} }{(x^2-2x)^2}$  

Tentei detalhar o máximo que consegui, porem essa matéria creio que seja melhor ser dada presencialmente/conferencia já que vai tirando as duvidas no momento.