Question

1.Encontre o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (-5 ,3) e B (-2, -1)

2. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (3, -6) e B (0, 4)

3-Determine a equação da reta tangente a função f(x) no ponto indicado
A) f(x) = 1/x x=2

B) f(x)= X²-x x=1

4-Calcule ´() pela definição:
A) f(x)=x²+x x=1

B) f(x)= raiz quadrada de x x= 4

C) f(x)= 5x-3 x=-3

D) f(x)= 1/x x= 1

Answer 1

O coeficiente angular da reta é -4/3; A equação da reta é y = -10x/3 + 4; A equação da reta tangente a função f no ponto indicado: a) y = x/4 + 1, b) y = x - 1; A derivada da função pela definição: a) f'(1) = 4; b) f'(4) = 1/4.

1. A equação reduzida da reta é da forma y = ax + b, sendo:

• a = coeficiente angular
• b = coeficiente linear.

Substituindo os pontos A(-5,3) e B(-2,-1) em y = ax + b, obtemos o sistema:

{-5a + b = 3

{-2a + b = -1.

Da primeira equação, podemos dizer que b = 3 + 5a.

Substituindo o valor de b na segunda equação:

-2a + 3 + 5a = -1

3a = -4

a = -4/3.

2. Substituindo os pontos A(3,-6) e B(0,4) em y = ax + b:

{3a + b = -6

{b = 4

Substituindo o valor de b na primeira equação:

3a + 4 = -6

3a = -10

a = -10/3.

A equação da reta é y = -10x/3 + 4.

3. A equação da reta tangente é da forma y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀).

a) Dada a função f(x) = 1/x, temos que:

f(2) = 1/2.

Assim, x₀ = 2 e y₀ = 1/2.

A derivada da função f é f'(x) = -1/x². Logo, f'(2) = -1/4.

Portanto, a reta tangente é:

y - 1/2 = -1/4(x - 2)

y - 1/2 = -x/4 + 1/2

y = x/4 + 1/2 + 1/2

y = x/4 + 1.

b) Temos que:

f(1) = 1² - 1

f(1) = 0.

Assim, x₀ = 1 e y₀ = 0.

A derivada da função f é f'(x) = 2x - 1. Logo, f'(1) = 1.

Portanto, a reta tangente é:

y - 0 = 1(x - 1)

y = x - 1.

4. A definição de derivada é igual a $f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

a)  Sendo f(x) = x² - x e x₀ = 1, temos que:

$f'(1)= \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$

$f'(1)= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2+1+h-2}{h}$

$f'(1)= \lim_{h \to 0} \frac{1+2h+h^2+h-1}{h}$

$f'(1)= \lim_{h \to 0} \frac{3h+h^2}{h}$

f'(1) = 4.

b) Sendo f(x) = √x e x₀ = 4, temos que:

$f'(4)= \lim_{h \to 0} \frac{f(4+h)-f(4)}{h}$

$f'(4)= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h}-2}{h}$

Racionalizando:

$f'(4)= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h}+2}$

$f'(4)=\frac{1}{4}$.