Question

nas olimpíadas internas do colegio de joãozinho uma das modalidades foi o campeonato de xadrez em que, na sua primeira fase, cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?
a- 12
b-13
c-14
d-15
e-16

Answer 1

Alternativa B: 13 jogadores.

Esta questão está relacionada com análise combinatória. Por meio da análise combinatória, é possível estudar e definir a quantidade de maneiras diferentes que um evento pode ocorrer.

Veja que devemos aplicar uma combinação simples, pois temos um número n de jogadores tomados 2 a 2, pois em cada jogo temos duas pessoas jogando. Nessa combinação, devemos obter o resultado de 78 jogos. Logo:

$78=\frac{n!}{(n-2)!2!}  \\ \\ 78=\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!\times 2\times 1} \\ \\ 156=n(n-1) \\ \\ 156=n^2-n \\ \\ \boxed{n^2-n-156=0}$

Note que chegamos a uma equação de segundo grau, então vamos aplicar o método de Bhaskara para calcular as raízes. Descartando a raiz negativa, obtemos o seguinte:

$x=\frac{-(-1)+\sqrt{(-1)^2-4\times 1\times (-156)}}{2\times 1}=13$