Question

A forma trigonométrica correspondente ao número complexo Z = -2 é:
a)
$cos\pi - inse\pi$
b)
$cos\pi$
c)
$cos\pi.inse\pi$

d)
$- 2cos\pi$
e)
$2 (cos\pi + inse\pi)$
​

Answer 1

Resposta:

Olá  Claudiabruno, neste exercício, vamos trabalhar com um teorema muito importante dos números complexos, que nos diz que, todo número complexo pode ser escrito pela sua forma trigonométrica, utilizando funções de senos e cossenos. Vamos lá!

Explicação passo-a-passo:

Do enunciado:

z=-2

O teorema nos diz que, se z é um número complexo, então sua forma trigonométrica será:

$z=|z|.(cos\theta+i.sin\theta)$

Do que precisamos?

$|z|=\rho\\\theta=arg(z)$

Vamos determinar, primeiramente, $\rho$.

Sabemos das teorias dos complexos que:

$\rho=\sqrt{a^2+b^2}$

onde a e b são as coordenadas do afixo deste número complexo.

Seja: $z=-2 \Rightarrow z=-2+0.i \Rightarrow P=(-2,0)$ (Afixo)

Sendo assim:

$\rho=\sqrt{(-2)^2+0^2}=\sqrt{4}=2$

Agora, vamos determinar o argumento de z, conhecido pelo primeiro ângulo positivo que esse número complexo forma com o eixo horizontal, no plano de Argand-Gauss. Temos:

$\cos\theta=\frac{a}{\rho}=\frac{-2}{2}=-1\\ \sin\theta=\frac{b}{\rho}=\frac{0}{2}=0$

Precisamos descobrir qual $\theta$ satisfaz as duas equações trigonométricas. Pelo ciclo trigonométrico, na figura 1, teremos:

$\theta=\pi$

Portanto:

$z=|z|.(cos\theta+i.sin\theta)\\z=2.(cos\pi+i.sin\pi)$

ALTERNATIVA E

Espero ter ajudado e esclarecido suas dúvidas!