Question

Sabendo que as coordenadas (1,0) e (2,7), pertence a um gráfico de uma função quadrática, qual é a Lei de Formação dessa função? E após isso verifique, se esta função é crescente ou decrescente.

Answer 1

Resposta:

f(x) é decrescente para x < 1/2 e crescente para x > 1/2

Explicação passo-a-passo:

Como são apenas dois pontos, então a função é do tipo f(x) = ax² + bx

f(1) = 0

f(2) = 7

a.1² + b.1 = 0

a.2² + b.2 = 7

a + b = 0 ⇒ b = -a

4a + 2b = 7

4a + 2(-a) = 7

4a - 2a = 7

2a = 7

a = 7/2

b = -a

b = -7/2

f(x) = 7/2 x² - 7/2 x

Raízes

7/2 x² - 7/2 x = 0

Mult. por 2

7x² - 7 = 0

Dividindo por 7

x² - x = 0

x(x - 1) = 0

x = 0 ou

x - 1 = 0

x = 1

xv = -b/2a

xv = -(-7/2)/(2.(7/2))

xv = 7/2:7

x = 1/2

yv = 7/2(1/2)² - 7/2.1/2

yv = 7/2.1/4 - 7/4

yv = 7/8 - 7/4

yv = 7/8 - 14/8

yv = -7/8

V(1/2 , -7/8)

f(x) = -7/8 para x = 1/2

f(x) é decrescente para x < 1/2 e crescente para x > 1/2

Answer 2

Uma função de 2° grau geralmente é da forma:

$y = a \cdot x^2 + b \cdot x + c$

Se você substituir as três coordenadas x e y na função, obterá três equações e três incógnitas.

Primeira coordenada, (1,0):

$0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c$

$0 = a + b + c$

Segunda coordenada, (2,7):

$7 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c$

$7 = 4 \cdot a + 2 \cdot b + c$

Terceira coordenada, (0,-3):

$-3 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c$

$\boxed{c = -3}$

Agora, pode-se resolver por substituição as outras duas incógnitas. Na primeira equação, se substituirmos c por -3, teremos:

$0 = a + b -3$

$a + b = 3$

$a = 3 - b$

Substituindo isso na segunda equação:

$7 = 4 \cdot (3 - b) + 2 \cdot b -3$

Agora podemos calcular b:

$7 = 4 \cdot (3 - b) + 2 \cdot b -3$

$7 = 12 - 4 \cdot b + 2 \cdot b -3$

$7-9 =- 2 \cdot b$

$-2 =- 2 \cdot b$

$b = \dfrac{-2}{-2}$

$\boxed{b = 1}$

Agora voltamos para a equação de a para encontrar seu valor:

$a = 3 - b$

$a = 3 - 1$

$\boxed{a = 2}$

Ou seja, a Lei de Formação da função será:

$\boxed{f(x) = 2 \cdot x^2 + x - 3}$

Uma função de 2° grau é sempre crescente e decrescente, dependendo do intervalo. Como a>0 essa função será decrescente até o vértice (bico) e a partir do vértice será crescente.

Para conhecer o vértice. Podemos primeiro calcular sua coordenada x, a partir de:

$x_v = -\dfrac{b}{2 \cdot a}$

Assim:

$x_v = -\dfrac{1}{2 \cdot 2}$

$x_v = - \dfrac{1}{4}$

Para encontrar a coordenada y do vértice pode-se usar a seguinte equação:

$y_v = - \dfrac{(b^2 - 4 \cdot a \cdot c)}{4 \cdot a}$

Substituindo:

$y_v = - \dfrac{(1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3))}{4 \cdot 2}$

$y_v = - \dfrac{(1 + 24}{8}$

$y_v = - \dfrac{25}{8}$

Logo:

$\left \{ {{\text{se x }< -\dfrac{1}{4}, decrescente} \atop {\text{se x }> -\dfrac{1}{4}, crescente}} \right.$