Question

28) Explique porque a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função.


a$f(x)=\left \{{ e^x, se x\ \textless \ 0}} \atop {{x^2, se x \geq 0}} \right. \\\\a=0$



.Segunda questão:


-Determine, caso existam, as assintotas horizontais e verticais, do gráfico da função dada a seguir:


$f(x)= \frac{3x}{x-1}$

Answer 1

1) Para que uma função seja contínua, os limites laterais devem existir e ser iguais. Além disso, o limite quando x tende a um ponto "a" deve ser igual à função aplicada no ponto f(a).

$A = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1\\\\B = \lim_{x \to 0^+}x^2 = 0^2 = 0\\\\f(0)=0, ~mas~A \neq B \Rightarrow lim _{x\to 0} ~f(x)~~ \textsf{inexiste}$

2) Assíntota horizontal: Quando x tende ao infinito:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$

A.H => y = 3

Assíntota vertical: Quando o limite é infinito:

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \textsf{"}\frac{3}{0^+}\textsf{"} =\infty\\\\ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \textsf{"}\frac{3}{0^-}\textsf{"} = -\infty$

A.V => x = 1

Answer 2

Com a definição de continuidade 1ª)descontínua, 2ª)assintota vertical x = 1, assíntota horizontal x = 3

Continuidade

Uma função será contínua se seu gráfico puder ser representado por meio de uma linha contínua, isto é, se não possuir pontos de descontinuidade. Uma função será descontínua se existirem pontos nos quais uma pequena variação na variável independente produzir um salto nos valores da variável dependente.

Esses pontos são denominados pontos de descontinuidade e podem ser de dois tipos

• Pontos em que a função não está definida, ou seja, os pontos que não pertencem ao domínio da função;
• Pontos em que o gráfico apresenta um salto;

De maneira formal uma função f é contínua em x = a se $lim_{x- > a}f(x)$ $=f(a)$. Se não existirem f(a) ou $lim_{x- > a}f(x)$, f não será contínua em a.

1ª)A função do exercício será descontínua, pois f(0) =x² e o $lim_{x- > 0}e^x =1$ como ambos são diferentes então é descontínua.

2ª)Assintota vertical: x = a é uma assintota vertical de f(x), se ao menos um dos itens for verdadeiro

• $lim_{x- > a^{+} } f(x)=$+∞
• $lim_{x- > a^{-} } f(x)=$+∞
• $lim_{x- > a^{+} } f(x)=$ -∞
• $lim_{x- > a^{-} } f(x)=$-∞

$lim_{x- > 1^{+} }\frac{3x}{x-1} =$+∞

A reta y = b é uma assíntota horizontal de f(x) se ao menos um dos itens for verdade

• $lim_{x- > +oo}f(x)=b$

• $lim_{x- > -oo}f(x)=b$

$lim_{x- > +oo}\frac{3x}{x-1} =lim_{x- > +oo}3 = 3$

Gráfico em anexo

Saiba mais sobre continuidade:https://brainly.com.br/tarefa/49797666

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