Question

considere que log 2=m e log 7=n, determine: a) log
$\sqrt[3]{784}$
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Answer 1

Primeiramente decomponha 784 em fatores primos:

$784 = 7 \times 7 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

ou:

$784 = 7^2 \times 2^4$

Podemos reescrever o logaritmo da seguinte forma:

$\log_{10}[\sqrt[3]{784}] = \log_{10}[\sqrt[3]{7^2 \cdot 2^4}]$

Utilizando a seguinte propriedade:

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

Vai ficar assim:

$\log_{10}[\sqrt[3]{7^2 \cdot 2^4}] = \log_{10}[\sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[3]{2^4}]$

Convertendo de raízes para exponenciais:

$\sqrt[n]{a^b} = a^{\frac{b}{n}}$

Ou seja:

$\log_{10}[\sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[3]{2^4}] = \log_{10}[7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^\frac{4}{3}]$

Utilizando agora a propriedade:

$\log_a[b \cdot c] = \log_a[b] + \log_a[c]$

Teremos:

$\log_{10}[7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^\frac{4}{3}]= \log_{10}[7^{\frac{2}{3}}] + \log_{10}[2^\frac{4}{3}]$

Propriedade dos logaritmos:

$\log_a[b]^c = c \cdot \log_a[b]$

Vai ficar:

$\log_{10}[7^{\frac{2}{3}}] + \log_{10}[2^\frac{4}{3}] = \dfrac{2}{3} \cdot \log_{10}[7] + \dfrac{4}{3} \cdot \log_{10}[2]$

Mas, de acordo com o enunciado:

$\log_{10}[2] = m\text{ e } \log_{10}[7] = n$

Assim:

$\dfrac{2}{3} \cdot \log_{10}[7] + \dfrac{4}{3} \cdot \log_{10}[2] =\dfrac{2}{3} \cdot n + \dfrac{4}{3} \cdot m$

Ou:

$\boxed{\dfrac{2}{3} \cdot (2 \cdot m + n)}$

Answer 2

Resposta:

$\frac{4m + 2n}{3}$

Explicação passo-a-passo:

$log(2) = m \\ log(7) = n \\ log( \sqrt[3]{784} ) = x \\ = > x = log( \sqrt[3]{2.2.2.2.7.7} ) \\ = > x = log(2.2.2.2.7.7)^{ \frac{1}{3} } \\ = > x = \frac{1}{3} . log(2.2.2.2.7.7) \\ = > x = \frac{1}{3} .( log(2) + log(2) + log(2) + log(2) + log(7) + log(7) ) \\ = > x = \frac{1}{3} .(m + m + m + m + n + n) \\ = > x = \frac{1}{3} .(4m + 2n) \\ = > x = \frac{4m + 2n}{3}$