Question

Me ajudem com essa integral?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, transforme a raiz cúbica em uma potência

$\sqrt[3]{y}=y^{\frac{1}{3}}$

Agora multiplique a potência obtida pelo y

$y.y^{\frac{1}{3}}=y^{1+\frac{1}{3}}=y^{\frac{4}{3}}$

Agora vamos expandir o quadrado perfeito

$(y^{\frac{4}{3}}+1)^{2}=y^{\frac{8}{3}}+2.y^{\frac{4}{3}}.1+1^{2}=y^{\frac{8}{3}}+2.y^{\frac{4}{3}}+1$

Agora vamos jogar este resultado de volta na integral

$\int\limits{(y\sqrt[3]{y}+1)^{2}}\,dy=\int\limits{(y^{\frac{8}{3}}+2.y^{\frac{4}{3}}+1})\,dy\\\\\int\limits{(y\sqrt[3]{y}+1)^{2}}\,dy=\frac{y^{\frac{11}{3}}}{\frac{11}{3}}+2.\frac{y^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}}+y+C\\\\\int\limits{(y\sqrt[3]{y}+1)^{2}}\,dy=\frac{3y^{\frac{11}{3}}}{11}+2.3\frac{y^{\frac{7}{3}}}{7}+y+C\\\\\int\limits{(y\sqrt[3]{y}+1)^{2}}\,dy=\frac{3y^{\frac{11}{3}}}{11}+\frac{6y^{\frac{7}{3}}}{7}+y+C$