Question

Alguém pode me ajudar?

Answer 1

1° exercício: No primeiro problema, podemos utilizar a seguinte propriedade do logaritmo:

$\log_{a}[b] - \log_{a}[c] = \log_{a}\left[\dfrac{b}{c}\right]$

Com isso, ficará assim:

$\log_{0,1}\left[\dfrac{x^2 + 75}{x-4}\right] \leq -2$

Agora utilizaremos a seguinte propriedade para cancelar o logaritmo:

$a^{\log_{a}[b]}=b$

Para isso, utilizamos exponencial de base 0,1 dos dois lados. Assim:

$0,1^{\log_{0,1}\left[\dfrac{x^2 + 75}{x-4}\right]} \leq 0,1^{-2}$

$\dfrac{x^2 + 75}{x-4} \leq 0,1^{-2}$

Mas perceba que:

$0,1 = 10^{-1}$

Ou seja:

$\dfrac{x^2 + 75}{x-4} \leq 10^{(-1) \cdot -2}$

$\dfrac{x^2 + 75}{x-4} \leq 10^{2}$

$\dfrac{x^2 + 75}{x-4} \leq 100$

Multiplicando ambos os lados por (x-4):

$x^2+75 \leq 100 \cdot (x-4)$

$x^2+75 \leq 100 \cdot x-400$

Passando todos os termos para a esquerda:

$x^2+75-100 \cdot x + 400 \leq 0$

$x^2-100 \cdot x + 475 \leq 0$

Chegamos a uma equação do 2° grau. Utilizando a fórmula de Bhaskara:

$x \leq \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Sendo a = 1, b = -100 e c = 475, substituindo:

$x \leq \dfrac{-(-100) \pm \sqrt{(-100)^2-4 \cdot 1 \cdot 475}}{2 \cdot 1}$

$x \leq \dfrac{100 \pm \sqrt{10000-1900}}{2}$

$x \leq \dfrac{100 \pm \sqrt{8100}}{2}$

$x \leq \dfrac{100 \pm 90}{2}$

$x_1 \leq \dfrac{100 + 90}{2}$

$x_1 \leq \dfrac{190}{2}$

$x_1 \leq 95$

$x_2 \geq \dfrac{100 - 90}{2}$

$x_2 \geq \dfrac{10}{2}$

$x_2 \geq 5$

Logo:

$\boxed{(x \in R | 5 \leq x \leq 95)}$

Alternativa A

2° exercício: Primeiramente note que, quando t = 3 segundos, a população será 400 bactérias:

$400 = M(0) \cdot 10^{3 \cdot k}$

Assim, se isolarmos o M(0):

$M(0) = \dfrac{400}{10^{3 \cdot k}}$

Do mesmo modo, quando t = 10 segundos, a população será 600 bactérias. Ou seja:

$M(0) = \dfrac{600}{10^{10 \cdot k}}$

Agora, se igualarmos as duas equações de M(0),teremos:

$\dfrac{400}{10^{3 \cdot k}}= \dfrac{600}{10^{10 \cdot k}}$

Multiplicando cruzado:

$\dfrac{10^{10 \cdot k}}{10^{3 \cdot k}}= \dfrac{600}{400}$

Ou, simplificando:

$10^{10 \cdot k - 3 \cdot k}= \dfrac{3}{2}$

$10^{7 \cdot k}= \dfrac{3}{2}$

Agora, para resolver essa exponenciação, precisaremos aplicar logaritmo de base 10 em ambos os lados da equação:

$\log_{10}[10^{7 \cdot k}]= \log_{10}\left[\dfrac{3}{2}\right]$

O que resultará no seguinte:

$7 \cdot k= \log_{10}\left[\dfrac{3}{2}\right]$

Como: $\log_a\left[\dfrac{b}{c}\right] = \log_a[b]-\log_a[c]$:

$7 \cdot k= \log_{10}\left[3\right]-\log_{10}\left[2\right]$

Assim:

$k = \dfrac{\log_{10}\left[3\right]-\log_{10}\left[2\right]}{7}$

Aqui você pode considerar que: $\log_{10}\left[3\right] \approx 0,477\text{ e }\log_{10}\left[2\right] \approx 0,301$:

$k = \dfrac{0,477-0,301}{7}$

$k = \dfrac{0,176}{7}$

$\boxed{k \approx 0,02514}$

Ou seja: 2,5%, alternativa E