Question

Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm³ de desvio padrão de 10 m³. Admita que o volume siga uma distribuição normal.
(a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm³?
(b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?

Answer 1

X: volume médio de líquido em cada garrafa (cm3 ) .
 X~N(1000, 10)
Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3 ?
P(X<990)
=P(Z<(990-1000)/10)
=P(Z<-1)=P(Z>1)
=1-P("MAIOR(<) OU IGUAL" 1)
=1-0,8413
=0,159
Portanto, em 15,9% das garrafas o volume de líquido é menor que 990 cm3 .

Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?
 σ=10 → 2σ=20
 µ-2σ = 1000-20 = 980 e µ+2σ = 1000+20 = 1020.
 
P(980<X<1020)
=P((980-1000)/10<Z<(1020-1000)/10)
=P(-2<Z<2)=P(Z<2)-P(Z<-2)
=P(Z<2)-P(Z>2)
=P(Z"MAIOR(<) OU IGUAL" 2)-[1-P(Z"MAIOR(<) OU IGUAL" 2)]
=2x0,9772-1=0,9544
~= 95%
Portanto, em aproximadamente 95% das garrafas, o volume de líquido não se desvia da média em mais que dois desvios padrões. 

Answer 2

Para resolvermos esses problemas devemos transformar a variável X em Z, a variável da curva normal padronizada. Para isso podemos usar a seguinte equação:

Z = (X-μ)/σ

onde x é a altura desejada, μ é a média e σ é o desvio-padrão.

a) Quando x = 990 cm³, temos que:

Z = (990-1000)/10 = -1

Olhando na tabela de áreas (a) de curvas padronizadas, temos que:

P(X < 990) = P(Z = -1) = 0,1587

A porcentagem de garrafas é 15,87%.

b) Para que o volume fique dentro da faixa (μ-2σ, μ+2σ), temos que:

Z1 = (980-1000)/10 = -2

Z2 = (1020-1000)/10 = 2

Temos então que:

P(980 < X < 1020) = P(Z = 2) - P(Z = -2)

P(980 < X < 1020) = 0,9772 - 0,0228

P(980 < X < 1020) = 0,9544 = 95,44%

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