Question

Todas as n capitais de um país estao interligadas
por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte
critério: uma única estrada liga cada duas capitais.
Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a
construção de mais 21 estradas pavimentadas para que
todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o
mesmo critério.
Determine o número n de capitais, que existiam inicial-
mente nesse país.​

Answer 1

O número n de capitais que existiam inicialmente é 21.

Esta questão está relacionada com análise combinatória. Por meio da análise combinatória, é possível estudar e definir a quantidade de maneiras diferentes que um evento pode ocorrer. Dentre os métodos de análise combinatória, temos o arranjo, a permutação e a combinação, entre outros.

Nesse caso, veja que temos uma combinação simples para calcular o número de estradas, onde existem um número "n" de capitais tomadas 2 a 2. Com a adição de mais uma capital, ou seja, "n+1", temos mais 21 estradas pavimentadas.

Por meio disso, podemos calcular o valor de "n" igualando as combinações, conforme o cálculo abaixo:

$C_{n,2}+21=C_{n+1,2} \\ \\ \frac{n!}{(n-2)!2!}+21=\frac{(n+1)!}{(n+1-2)!2!} \\ \\ \frac{n(n-1)}{2}+21=\frac{(n+1)n}{2} \\ \\ 21=\frac{n^2+n}{2}-\frac{n^2-n}{2} \\ \\ 21=\frac{2n}{2} \\ \\ \boxed{n=21}$