A descoberta dos segmentos incomensuráveis criou um problema para os matemáticos da antiguidade: o que significavam as razões entre segmentos incomensuráveis. A Teoria das Proporções de Eudoxo forneceu um meio de trabalhar com essas razões sem precisar associar a elas um número.
É CORRETO afirmar que:
a. A proposta de Eudoxo implica utilizar submúltiplos da unidade para medir cada segmento e posteriormente calcular a razão entre essas medidas.
b. A proposta de Eudoxo divide as frações em dois grupos, aquelas que são menores do que a razão entre os segmentos e aquelas que são maiores ou iguais a essa razão.
c. A proposta de Eudoxo nada mais é do que uma reformulação dos cortes de Dedekind, adaptando-os às necessidades da época.
d. A proposta de Eudoxo só vale para segmentos incomensuráveis, pois para segmentos comensuráveis basta medir cada segmento e calcular a razão.
e. A proposta de Eudoxo divide as frações em dois grupos, aquelas que são iguais à metade da razão entre os segmentos e aquelas que são diferentes dessa razão.
Respostas
Resposta: Resposta correta letra ( A )
A proposta de Eudoxo divide as frações em dois grupos, aquelas que são menores do que a razão entre os segmentos e aquelas que são maiores ou iguais a essa razão.
Explicação passo-a-passo:
Dedekind partiu da ideia que mencionamos acima: o procedimento de Eudoxo
divide o conjunto dos números racionais em dois subconjuntos. Por exemplo, o
racional ¾ efetua um corte em . De um lado temos o conjunto E (de esquerda)
com todos os racionais que são menores que ¾ (e estão à esquerda de ¾ na reta).
De outro, temos o conjunto D (de direita) com todos os racionais que são maiores
que ¾ (e estão à direita de ¾ na reta). O mesmo vale para qualquer racional r; ele
divide os demais números racionais no conjunto E dos números menores do que r
e no conjunto D dos números maiores do que r (r pode ser incluído como o maior
elemento de E ou o menor elemento de D – aqui sempre o incluiremos como
elemento de D). Ou seja: D x = ∈ { } : x r ≥ , e E x = ∈ { } : x r < .