Question

2. Seja P a parábola de foco F=(2,3) e vértice na origem. Determine

a) A equação do eixo da reta diretriz da parábola P

b) A equação da parábola P

Answer 1

A equação da reta diretriz é 2x + 3y = -13; A equação da parábola é -9x² + 12xy + 104x - 4y² + 156y = 0

a) Sabemos que a distância entre o vértice e o foco tem que ser igual à distância entre o vértice e a reta diretriz.

Além disso, temos que a reta que passa pelo foco e pelo vértice é perpendicular à reta diretriz.

Tal reta possui equação -3x + 2y = 0.

Sendo assim, a reta diretriz é da forma 2x + 3y = c.

A distância entre o vértice e o foco é igual a √13.

Logo:

$\frac{|2.0+3.0-c|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\sqrt{13}$

|-c| = 13.

c = -13.

Observe que se c = 13, então a diretriz passará pelo foco.

Portanto, a equação da reta diretriz é 2x + 3y = -13.

b) Considere que temos um ponto P = (x,y) pertencente à parábola.

Então:

$\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=\frac{|2x+3y+13|}{\sqrt{13}}$

(x - 2)² + (y - 3)² = (2x + 3y + 13)²/13

13(x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9) = 4x² + 12xy + 52x + 9y² + 78y + 169

-9x² + 12xy + 104x - 4y² + 156y = 0.