Question

Um objeto o é lançado no espaço, em um local onde o solo é plano e horizontal. A sua altura, em relação ao solo, é dada pela fórmula : h(t)= -2t² + 12t. Em que h é a altura em metros e t é o tempo em segundos. A altura máxima atingida pelo objeto após....?

Answer 1

Resposta:

Altura máxima ⇒ y do vértice

h(t) = -2t² + 12t

a = -2

b = 12

c = 0

∆ = b² - 4ac

∆ = 12² - 4 . (-2) . 0

∆ = 144

Yv = -∆ / 4a

Yv = -144 / (4 . (-2))

Yv = -144 / -8

Yv = 18m

Answer 2

❑ A altura máxima desse objeto será de 18 metros.

Função Quadrática:

Podemos resolver o seu exercício através da Função Quadrática (também chamada de Função de Segundo Grau). Em que, sua lei de formação é representada da seguinte maneira: $\sf f(x)=ax^{2} +bx+c$ Possuindo a restrição de a não valer 0 (pois assim não teremos mais uma Função de Segundo Grau).

• Determinação do ponto máximo de uma Função:

Podemos determinar o ponto máximo de uma função de duas maneiras:

❑ Na primeira, usamos a fórmula do vértice no eixo y ($\sf y_v$) que é representada da seguinte maneira:

$\Large\sf y_v=-\dfrac{\Delta}{4 \cdot a}$

Sabendo que, para encontrarmos o Delta usamos a seguinte fórmula:

$\Large\sf \Delta=b^{2}-4 \cdot a \cdot c$

❑ Já a segunda maneira, consiste em encontrar o valor do vértice no    eixo x ($\sf x_v$) e resultado que encontrarmos vamos pegar a lei de formação desse problema: $\sf h(t)=-2t^{2} +12t$ e substituir aonde possuir t pelo valor de h(t)= -2t² + 12t provém da lei de formação de uma Equação de Segundo Grau Mas... E o termo c? Bem, ele é conhecido como termo independente e nem sempre aparece nas questões, considera-se que c vale 0.

$\rightsquigarrow$ Para calcular o valor de $\sf x_v$ usamos a seguinte fórmula:

$\Large\sf x_v=-\dfrac{b}{2 \cdot a}$

Mãos à obra:

Agora que temos em mente alguns conceitos básicos sobre o assunto e como resolver o problema, podemos ir para os cálculos :D Vamos lá!

De início, determinamos os coeficientes, que são respectivamente:

$\begin{cases}\sf a=-2\\\sf b=12\\\sf\:c=0\end{cases}$

O coeficiente só é considerado negativo quando antes dele temos um sinal negativo.

$\hookrightarrow$ Primeira maneira:

❑ Calculando o delta:

$\Large\sf \Delta=12^{2}-4 \cdot (-2) \cdot 0 \\\Large\sf \Delta=144-4 \cdot (-2) \cdot 0\\\Large\sf\Delta=144-(-16) \cdot 0\\\Large\hookrightarrow \sf\Delta=144\hookleftarrow$

❑ Agora, calculamos o valor do vértice no eixo y, já que, possuímos o Delta:

$\Large\sf y_v=-\dfrac{144}{4 \cdot (-2)} \\\Large\sf y_v=\dfrac{144}{8} \\\hookrightarrow\boxed{\Large\sf y_v=18\:metros}\hookleftarrow$

$\hookrightarrow$ Segunda maneira:

❑ Iremos encontrar o valor do vértice no eixo x:

$\Large\sf x_v=-\dfrac{12}{2 \cdot (-2)} \\\Large\sf x_v=\dfrac{12}{2 \cdot 2} \\\Large\sf x_v=\dfrac{12}{4} \\\Large\sf \hookrightarrow x_v=3\hookleftarrow$

❑ Por fim, só pegarmos a lei de formação fornecida por seu exercício, e substituirmos aonde possuir t por 3:

$\Large\sf h(3)=-2 \cdot 3^{2}+12 \cdot 3 \\\Large\sf h(3)=-2 \cdot 9+12 \cdot 3\\\Large\sf h(3)=-18+12 \cdot 3\\\Large\sf h(3)= -18+36\\\hookrightarrow\boxed{\Large\sf h(3)=18\:metros}\hookleftarrow$

Viu como de ambas as maneiras chegamos ao mesmo resultado?! Vale ressalvar, que isso vale para calcular o ponto máximo e o eixo do vértice y.

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Espero que a minha resolução esteja explícita para você. Bons Estudos!